Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Вильсона). А это есть в точности действие, дуальное к виллэнову варианту
плоских ротаторов, действие, которое для достаточно малых К в
существенном ведет себя как гауссовское и при котором происходит
упоминавшийся выше фазовый переход Костерлица - Таулесса [59],
существование которого недавно было доказано [60]. Но это означает, что
средняя амплитуда флуктуаций логарифмически расходится с ростом петли.
Поверхность становится абсолютно делокализованной! В действительности
полностью "грубой" она никогда не становится, потому что поверхностное
натяжение остается конечным.
Не может быть никаких сомнений в том, что описанный эффект на самом деле
имеет место, и это очень неудобно с точки зрения вычислений. По-видимому,
это приводит к появлению существенной сингулярности, через которую
необхо-
>> Впервые фазовый переход огрубления поверхности в случае обычных
решеточных спиновых моделей был установлен в трехмерном случае Добрушиным
(см. [12*]). - Прим. ред.
106
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
димо проходить при переходе от хорошо проанализированной области сильной
связи к критической точке (которой для непрерывных неабелевых групп G и d
^ 4 предположительно служит точка g0 = 0). Критическая точка находится
как раз там, где должен быть построен переход к непрерывному случаю!
Поэтому, как ни печально, не существует легкого способа экстраполировать
высокотемпературные разложения на случай слабой связи. Но в принципе это
всё еще остается возможным, покуда не обнаружено естественной границы
аналитичности по go.
После этой небольшой разрядки обратимся к непрерывному случаю, точнее к
тому немногому, что известно о нем строгого.
Часть И
Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
Теории, указанные в названии, должны бы были быть главным предметом этой
книги, но, к сожалению, они значительно менее разработаны, чем решёточные
калибровочные теории. Мы опишем сначала основные методы построения таких
теорий, разбивающиеся на три класса: непрерывные пределы решеточных
теорий, прямые непрерывные конструкции и комбинированный метод. Первые
два из них мы проиллюстрируем на простых примерах, а именно на двумерной
чистой теории Янга - Миллса и на модели Швингера (без-массовая двумерная
электродинамика). Комбинированному методу будет посвящена большая часть
оставшихся глав. Он используется для построения двумерной абелевой модели
Хиггса, которая будет обсуждена нами достаточно подробно и которая, как
будет показано, является квантовой теорией поля в смысле Вайтмана; мы
дадим также общий план построения массивной двумерной квантовой
электродинамики с помощью этой стратегии. Выяснится, однако, что аксиомы
Вайтмана не являются самой естественной основой для калибровочных теорий,
по крайней мере в неабелевом случае. Поэтому в конце мы обсудим другие
возможные основания, пригодные при рассмотрении обобщенных калибровочно-
инва-риантных объектов, таких как петли Вильсона, вместо локальных полей-
Философия, стоящая за всем этим, та же самая, что и в случае решёточной
аппроксимации, - по возможности избегать обращения с "потусторонним
миром" (Hinterwelt, как в [1]) и нефизическими степенями свободы.
5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ КВАНТОВЫХ ТЕОРИЙ ПОЛЯ
а. Скейлинг-предел
Этот метод выглядит наиболее естественным с концептуальной точки зрения;
к сожалению, его трудно провести в общем случае, так как требуется
детальная информация о
108 Ч.П. Непрерывные калибровочные квантовые теории поля
поведении решёточных теорий вблизи критической точки. Подробное
обсуждение метода для случая ^-моделей имеется у Шрадера [2].
Произвольная решёточная модель характеризуется числом "голых" параметров
(констант взаимодействия) ^ = (А,ь ••• Яг)еКг, входящих в выражение для
действия. Можно попытаться найти такое же число "физических" параметров,
описывающих теорию, скажем некоторое число масс, выраженных в физических
единицах, например килограммах или ГэВ и, возможно, несколько
безразмерных физических постоянных взаимодействия (зарядов); обозначим их
все через
и = (ц1, . •., цг)е Rr.
Для любой такой заданной постоянной е модель порождает некоторое
отображение - так называемое рвнорм-отображе-ние R(t) 1 Rr zd G -> R':
R(e)k и (и(е, K). (5.1)
Можно попытаться устремить e к нулю, оставляя ц фиксированным. Это
означает, что все длины, измеряемые в единицах решётки, должны стремиться
к бесконечности, т. е. мы должны приближаться к критической точке.
Конечно, для этого требуется, чтобы отображение R(e) было в некотором
смысле обратимым, и эта обратимость играет главную роль у Шрадера [2] при
исследовании ^-моделей.
В предположении, что указанная обратимость имеет место и все
рассматриваемые отображения достаточно гладки,
(5.1) приводит к некоторому варианту уравнений Кэллена- Симанзика [3]:
Г
0 = ^-ц(е, х,(в))-?л(-^-+-^-ц(в, Цв)), (6.2)
t-\ 1
где Ai = dhj/de обычно рассматриваются снова как функции
ОТ Ё Н (I.
Отображение R(e) особенно просто выглядит для чистых теорий Янга -
