Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Ь. Трехмерная абелева модель Хиггса: фазовая структура
Трехмерная ?7(1)-модель Хиггса, известная также как модель Гинзбурга-
Ландау, конечно, весьма физична, поскольку служит моделью
сверхпроводника.
Поэтому очень интересно то, что для гауссовского варианта этой модели
существование по крайней мере двух фаз - "нормальной" и "сверхпроводящей"
- можно установить, исходя из корреляционных неравенств [58] и факта
существования перехода Костерлица - Таулесса [60]. Для некоторых
вариантов этой модели работают разложения раздела 3.
Детальная картина зависит от того, какой вариант модели рассматривается -
"компактный" (т. е. вильсонов) или гауссовский. В наименее интересном
случае мы имеем полное нарушение симметрии (скорее соответствующее заряду
поля Хиггса, чем отсутствию зарядов). Для этого нужно периоди-
4. Некоторые дальнейшие результаты
81
ческое действие для калибровочного поля, такое как действие Вильсона или
Виллэна. Вероятно, фазового перехода вообще нет, за исключением случая ^
= 0. В последнем случае получается модель плоских ротаторов, для которой
в [74] доказано существование перехода, нарушающего симметрию (Голд-
стоун). Если g;; ф 0, то эта модель - всегда сверхпроводник.
Если уменьшить период действия Хиггса, т. е. кратность п элементарного
заряда поля Хиггса, то мы получим ситуацию неполного нарушения симметрии,
где не нарушается симметрия подгруппы Н - Z", и можно использовать
теорему 3.20' и квазитеорему 3.20. Мы обнаруживаем при этом по крайней
мере две фазы. Одна из них - "сверхпроводящая" со свободными дробными
(относительно поля Хиггса) зарядами и с экспоненциальным распадением
корреляций Z"-вихрей. Другая - "нормальная" с удержанием дробных зарядов
и без распадения корреляций вихрей.
В наиболее реалистичном варианте присутствует гауссовское действие,
описанное в предыдущем пункте. При d ^ 3 и нулевом или малом (х2
построить высокотемпературное разложение нелегко. В этом случае выручают
корреляционные неравенства. Ход рассуждений здесь такой же, как и в
пункте а.
А именно, рассмотрим среднее значение дробно-заряженной вильсоновой петли
<№е(С)> прямоугольной формы со сторонами L (в 1-направлении) и Т (в 0-
направлении). Так же как в пункте а, оценка сверху устанавливается путем
исключения Ai и А2 и замораживания Л0 на целочисленных значениях. Тогда,
как и раньше, конфигурации в различные моменты времени становятся
независимыми, и мы получаем
К^9(С))|<"еге(^-""))к)г, (4.7)
где среднее в правой части неравенства - это среднее двумерной
спиновой модели с целочисленными значениями спинов (т. е.
модели, дуальной к модели Виллэна) с действием
ТТ ? (п* ~~ пу)2' п m Z' (4-8)
2go
В [60] показано, что (е>в ведет себя как eel°sL,
при условии что gg достаточно велико (а именно 1 /gl ниже точки перехода
Костерлица - Таулесса). Таким образом, мы получаем
(^(СКс'г^10^, (4.9)
что дает логарифмический (т. е. двумерный кулонов) удерживающий потенциал
взаимодействия между дробными элек-
82
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
трическими зарядами. Это значит, что экранирование таких зарядов
отсутствует, и мы имеем "нормальную фазу". Используя соображения
дуальности, можно показать, что в этой фазе корреляции вихрей убывают
степенным образом.
Ряс. 14. Компактный случай, (а) Полное нарушение симметрии. (Ь) Частичное
нарушение симметрии.
Существование сверхпроводящей фазы со свободно расходящимися
электрическими зарядами (закон периметра для №0) и экспоненциальным
убыванием корреляций вихрей можно усмотреть с помощью разложения такого
же типа, как в квазидоказательстве
сверх- квазитеоремы 3.20. проводи- " г
мость о заключение этого пунк-
та приведем предполагаемую фазовую диаграмму (рис. 14 и 15). Заметим,
что, как показывают корреляционные неравенства, среднее значение
вильсоновой петли всегда возрастает в направлениях направо и вверх.
Среднее от вихрей ведет (Из этих корреляционных
ihO/gp Рис. 1В. Гауссовский случай.
себя противоположным образом, неравенств, конечно, видно также, что для
гауссовской модели (Ге(С))>е-^ юг t.)
с. Теорема Гута: существование неудерживающей (кулоновой) фазы в
четырехмерной ?/(1)-модели
Гут [64] дал остроумное доказательство того, что четырехмерная решёточная
чистая t/(l)-калибровочная модель с Действием Виллэна ведет себя более
или менее похоже на непрерывную модель, если только константа
взаимодействия дост$-
4. Некоторые дальнейшие результаты S3
точно мала. В частности, в ней нет удержания. Этот результат имеет
принципиальное значение, так как показывает, что "компактные" решёточные
калибровочные теории (с полями, принимающими значения в компактной группе
G) могут иметь некоторые свойства, приписываемые обычно непрерывным
моделям. Это также показывает, что удержание в смысле Виль сона является
тонким эффектом: размерность 4 является критической и, как надеются или
полагают физики, водораздел, возможно, проходит между четырехмерными
абелевыми и неабелевыми моделями.
