Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зайлер Э. -> "Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой" -> 30

Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.

Зайлер Э. Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой — М.: Мир, 1985. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochnieteoriisvyazi1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 76 >> Следующая

отсутствие удержания кварков.
Чтобы доказать эту теорему, запишем сначала <1F"(C)) в виде, который был
указан Бэнксом, Когутом и Майерсоном
[65] и тесно связан с представлением, использованным Глим-мом и Джаффе
[78].
0< А < 16.
(4.11)
((rf0)p-2n/p)2
JJ el (V (r)*").
(ху) -Я Р 1р
(4.12)
<Г"(С)>>ехр(-^|^(/, Д-1/))
и
go-"0 g0
lim
86
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Лемма 4.8. Имеет место равенство
(Wn{C)y = А0(С)Е(С),
где
Д0 (С) = ехр (- (/, А"1/)) .
E(C)=y Y ехр(-------------Ц- (т3, А_1шз)'|ехр(2л/(тз, S~x dG2))\
ГПз
dtm =0
здесь G2 - целочисленная 2-цепь, удовлетворяющая условию &G2 - j
(представьте себе поверхность, ограниченную С); сумма берется цо
целочисленным 3-цепям т3.
Следствие 4.9. Справедлива оценка
(Wn (С)) < ехр (-4 (А А-'/))-
Д о к а з а т е л ь с т в о тривиально. ?
Замечание. Глимм и Джаффе [78] доказали эту лемму для действия Вильсона.
Доказательство леммы. Прежде всего фиксируем в (4.12) калибровку для 0.
Для этого выберем в А какое-нибудь максимальное дерево Т и положим на нём
0 равным
нулю. Пусть ^ - интеграл по 1-цепям 6Ь принимающим
0,
значения в отрезке [-я, я] и обращающимся в нуль на Т. Тогда
<Wn(C)) =4" Z \ d^eiii' e,)expf- -Лг||^0| - 2я/2||2У (4.13)
и I V )
Если обозначить dl2 через т3, то можно написать h - h [m3] + dli,
где kirtii]-целочисленное частное решение уравнения m.3 = dl2. Поэтому мы
можем заменить
Е на Е Г.
U ГПг 1\
dm-i** O'
где X -сумма по 1-цепям 1\, равным нулю на максималь-и
ном дереве Т (это нужно, чтобы k однозначно определялось
4. Некоторые дальнейшие результаты
87
уравнением dl\ = /2- /2[^з]) - Тогда (Wn(C)) = -L ? *>х
т3 /1 0!
drrti^O
X exp Г - -j-1| dQi - 2лl2 [т3] + 2п dlx [|Л. (4.14)
\ 2 g0 )
Из разложения Ходжа и отсутствия гармонических цепей сле-
дует, что 1 = 8A.-ld -f <iA_16, и поэтому мы имеем
1-2 [т3] = б/2 [m3] + 6Д_1т3. (4.15)
Следовательно,
<^"(q>=4- ? ?' Г^ег(/'е,+2я'1)ехрГ-тт!бА_чп
тй и е, \ 2^о /
dm3=0
X exp Г-----^ I d (01 + 2я1х + 2лА_! 6/2 [т3]) И
\ 28о )
/п3 а!
Xexp("^rl|daili2)(
i(u 6Д-12яh Из1)
(4.16)
где мы положили at = 0; + 2п1х + 2я 6Д ll2[m3], а ^ da{ 060-
a.
значает теперь интеграл по всем вещественнозначным 1-цепям, обращающимся
в нуль на Т. Этот гауссовский интеграл можно вычислить, и мы получаем
<Г"(С)> = мр(-4(/. А'1/))
X Z (4.17)
т.} dm4~ О
В силу определения G2,
(/> 6Л /2 [т3]) = (Оа, dA б/2 [т3] )
= (G2, 12 [тъ]) - (G2, 6A~'m3). (4.18)
Первый член есть целое число и не дает вклада в экспоненту,
так что окончательно мы получаем
(W п (С)) = А0 (С) Z~l ? ехр(-~ ("3, Д_1/я8))
mi N *0 '
пи
dm,=0
X ехр (2л/ (/"j, А 1 d02))> (4.19)
что и требовалось доказать. ?
88
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Следствие 4.10. Пусть а\ - *Д~ldQ2. Тогда
---(">ь д-1ml) + 2ni (mi, ait
(4.20)
Доказательство тривиально. ?
Теперь оценим Е(С) снизу с помощью одного простого корреляционного
неравенства (тесно связанного с неравенством Фрёлиха и Парка [79]):
Лемма 4.11. Пусть 0<Л!^Л2, где А\, Л2 - операторы на p-цепях. Тогда
Доказательство. Эта оценка становится очевидной, если заменить
ограничение Ьт\ - 0 подходящим предельным переходом и воспользоваться
леммой 4.6. ?
Доказательство леммы. Пусть
где Л(Я)=ЯЛ2 + ( 1 - Я)ЛЬ Мы утверждаем, что 0.
Действительно,
1 Уе~(Шр' А2тр)+1(ар'тр)
iti с-1 Z2
тп тп
Следствие 4.12. Справедлива оценка
-- i- (m" mt)+ 2ni (.mi,a,)
= F(C). (4.21)
m
P
F' (X) = <(mp, (Л, - A2) mp) el <• mp)\
- <H>. Hi - A2) mp)\ (el (V mp))A
=s=
Положив
m± = mp ± m',
4. Некоторые дальнейшие результаты
89
получаем
= Лаш+)~Т('П-' МК)т~)
тп_р т_
i
X (Л! - Л2) т_) еТ (°р' OT+) sin (1 (ар, m j) . Так как /?/(Я) не
меняется при замене т+-*-т+, т--"-т_,
ТО
^n)=_________Ц_ у е~т(т+' л^)пг+)-т('"-
Z (^) Z...J
т_|_, т_
X sin (j (ар, m+)) sin (у (ар, mj) (m+, (А2 - AJ m_) > 0.
Последнее неравенство верно, потому что F'(K) имеет вид (г)), (А2 -
Лi)г|з) иЛ2^Ль ?
Определенная в (4.21) величина F(C) может быть записана как среднее
значение параметра беспорядка (сильно нелокального) в модели плоских
ротаторов при высокой температуре (см. [64]). Однако кластерное
разложение для logi7(C) проще получить непосредственно, используя
низкотемпературное разложение по "дефектам" (которые в этом случае
следует интерпретировать как магнитные токи).
Поэтому применим технику, развитую в разделе 3, и "выжмем" оценку снизу
для F(C). Имеем
log F (С) = ? " - 4) (4.22)
х
(см. (3.35)). В качестве полимеров у мы берем здесь всевозможные носители
1-цепей mi с Ьпц = 0, т. е. связные сети рёбер решётки без граничных
точек. Активность равна
----Цг \\тЛг+2п1 (аи mi)
T-i 32d2
*".(y)" ? e S° . (4.23)
mi Ф 0 на y
Каждый полимер у может быть представлен как объединение замкнутых
контуров:
V^UQ, (4.24)
i
и для каждого контура Сг найдется поверхность Si с краем С/. Пусть
S(v)=USf (4-25)
i
90
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Рассматривая S как подобъём, мы можем найти в нём цепь ni2[mi],
удовлетворяющую условию: 6m2[mi]=0 для любой
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed