Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
модели Янга - Миллса, или модели Янга - Миллса - Хиггса. Из этого
результата следует также упомянутый ранее результат Макка [47],
относящийся к двумерным моделям.
Мы рассмотрим модель Янга-Миллса-Хиггса, в которой представление Хиггса
Uн тривиально на некоторой подгруппе
(4.36)
(4.37)
(4.38)
(4.39)
94
Ч. 1. Решёточные калибровочные теории
Z0 центра Z" группы SU(n) (это нужно, чтобы сохранить возможность
удержания "дробных зарядов"). Чистую модель Янга - Миллса можно
рассматривать как ее частный случай.
Интегрируя по полям Хиггса, мы получим статистическую сумму
2 ({?.,}), (4.40)
изучавшуюся в разделе 2. Заметим, что эта статистическая сумма является
вещественной функцией калибровочных полей, принимающих значения в
SU(n)/ZQ. Отметим также
простое тождество
dgF (g) = ^ dS ^ d(i)F (S(r))* (4-41)
a о z°
верное для любых компактной группы G и центральной подгруппы Z0.
Теперь рассмотрим петлю Вильсона WX(C), отвечающую представлению т,
ограничение которого на Z0 нетривиально (т. е. отвечающую "дробным
зарядам"). Имеем
(W4 (С))Л = Za1 5 (gc) e~SY- м- {{3х"})2 ({gxy}) Д dgxy
<хуу
= 2л1 5 П dgxyz ({?*"}) Хт (gc)
ixy)
X П S dyxy%x (Ус) e~SY-м- (4.42)
W> Z°
(мы учли (4.41)). Взяв действие в форме Вильсона, получим (используя в
действии фундаментальное представление SU(n))
<UMc)>a = T" S П dgxyZ i-iSxy})%x(gc)
Л (ху)
1 V X (Чдр)
/ \ --V/ Rex(g.p) '
• (4.43)
<.ху) Za
Это можно рассматривать как Z0-кaлибpoвoчнyю теорию
с переменной константой связи - точка зрения, которая
часто оказывается полезной (см. [67]),
Теперь воспользуемся тем, что
X (Y) = (11), (4.44)
Xx(Y) = e;?Axx(H) (4-4б>
4. Некоторые дальнейшие результаты 03
для некоторого целого qx и некоторых углов 0Y, и перепишем существенную
часть действия из (4.43) в следующем виде
Re х {ёдР) г (уap)/% (D = Re X (gdP) cos 0др - Im % (ggp) sin 0ap
== JP cos 0ap + Kp cos (0ap -f у ) , (4.46)
где мы для простоты обозначим 0V через взр-
Введем не зависящую от {gxy} вероятностную меру
d]*- ({йлгу})/, к
---Ir (7Р C0S 0(5P + KpCOS ((r)ap+"f'))
1
Jldl(exy)l[e 85 , (4.47)
Z UgxyV (xy) P
где Z - очевидный нормировочный множитель, a dk(Q) - мера Хаара на группе
Z°, параметризованной углом 0.
Наша цель теперь - избавиться от флуктуаций констант связи JP и Кр с
помощью некоторого корреляционного неравенства. Подходящее неравенство
было получено Мессаже, Миракль-Солем и Пфистером [69] и состоит в том,
что для q е Z, а е R
-cos еар (4.48) ± ^ cos(90c + a)rfjxy, y-jj cos(<70c)e 5 р dX({Qxy}),
при условии что
-Vd/pl + lffplX-W- <4'49)
"Гб Я
(В действительности, для того чтобы применить неравенство из [69], нужно
записать о!Ц0) как слабый предел мер г(р.)-1е^1 cos m6d0 при подходящем m
и [л->-оо.)
Итак, (4.49) верно, если
rf = X(1). (4.50)
Я
Подставляя (4.48) в (4.43) и используя (4.46) и (4.47), получаем
| (ОСТ | < 2Х (1) (cos 90с)JgW- (4.61)
Собирая вместе всё доказанное, видим, что справедлива
Теорема 4.17. В решёточной SU(n) -теории Янга-Миллса - Хиггса с
константой связи g, в которой представление Хиггса тривиально на
подгруппе Z0, содержащейся в центре группы SU(ti), дробно-заряженная
петля Вильсона подчиняется за-
96
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
кону площади, при условии что та же петля Вильсона подчиняется закону
площади в чистой Z°-TeopHH Янга - Миллса с константой связи gl У 2)С (И)-
Следствие 4.18. В двумерном случае дробные заряды всегда удерживаются.
е. Взаимосвязь электрических и магнитных свойств в проблеме удержания
Сейчас распространена точка зрения, согласно которой неабелевы
калибровочные теории удерживают "электрические" заряды по той причине,
что последние ведут себя как магнитные сверхпроводники и сжимают
"электрический поток" таким же образом, как сверхпроводник сжимает
магнитный поток. Эта качественная картина основывается на некоторых
строгих результатах, которые мы собираемся здесь обсудить. Критерий
удержания, данный Макком и Петковой [70], показывает, что к удержанию
приводит "конденсация вихрей", связанная с расширением магнитного потока.
Макк и Петкова [67] показали, кроме того, что введение ограничения,
устраняющего монополи некоторого типа, затрудняет расширение магнитного
потока и приводит при условии слабой связи к удержанию внешних монополей.
Мы покажем также, что это приводит к закону периметра для петли Вильсона
определенного типа. Наконец, существует общее электрически-магнитное
отношение дуальности, найденное т'Хоофтом [76], которое показывает, что
может иметь место сжатие либо электрического, либо магнитного потока, но
не обоих сразу. Это, кстати, согласуется с результатами раздела 3.
Критерий Макка и Петковой [70] получен под влиянием работы Добрушина и
Шлосмана [71], посвященной двумерным спиновым системам с непрерывной
симметрией. Добру-шин и Шлосман показали, что теорему Мермина - Вагнера
[72] об отсутствии спонтанной намагниченности в таких спиновых системах
можно заново получить, используя старую интуитивную идею, заключающуюся в
