Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
том, что потери свободной энергии на длинных блоховских барьерах
(контурах Пайерлса) можно сделать малыми за счет большой толщины барьеров
и медленного изменения спинов2).
1) Впервые результат об отсутствии спонтанной намагниченности в
двумерных системах был получен Н. Н, Боголюбовым с помощью выведенного им
"неравенства Боголюбова" (см. [10*]). - Прим.. ред.
2) Содержание этого абзаца не вполне точно. Доказательство Добрушина и
Шлосмана основано на несколько иной идее. Способ получения результата,
описанный в тексте, использован в работе [11*]. - Прим. ред.
4. Некоторые дальнейшие результаты 97
В решётонных калибровочных теориях аналогом контуров Пайерлса служат,
конечно, дефекты, о которых мы уже так много говорили. Если калибровочная
группа непрерывна, то наши низкотемпературные разложения не работают, так
как дефекты получаются размазанными. Эта размазанность может привести к
закону площади для петли Вильсона даже в случае малых g0 (если только
размерность не слишком велика, а именно ^4).
Рассмотрим в качестве возможного объема, содержащего вихри, конечную
область бесконечной решетки Zd с "тороидальной" топологией, т. е.
предположим, что граница дА
Рис. 18. Трехмерная вихревая область Л, сцепленная с петлей С.
гомеоморфна Sd~2 X S1. Рассмотрим соответствующую статистическую сумму Zx
(gg\) для решеточной чистой теории Янга - Миллса с фиксированными
значениями калибровочного поля на границе. Теперь мы хотим возмутить эти
граничные условия, действуя на них "сингулярным калибровочным
преобразованием" (см. раздел 2) таким образом, чтобы все операторы
голономий (= петли Вильсона), соответствующие контурам, которые обегают Л
в "тонком" направлении (см. рис. 18), умножились на некоторый элемент со
из центра нашей калибровочной группы G.
Этого можно достичь путем выбора соответствующего (й - 2)-цикла *Т на Л
(вспомним, что дА содержит прямым сомножителем Sd_2) и умножения всех
калибровочных полей, живущих на дуальном множестве Т, на элемент со.
Обозначим соответствующую статистическую сумму через ZA,a(gdA). Определим
теперь "распределение вероятностей вихрей":
Определение 4.19.
Ра, ,аЛ <"> " *л. " ("ад) A " (г"А) V' ¦ (4-62)
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
где da - нормированная мера Хаара на центре Z группы G (обычно
Z....дискретная группа). Заметим, что ZA, ,0(^;л) >0-
Важно также его преобразование Фурье
Ра, ед v (?) = S d(0'^ И Ра, gd v (") (4-53)
(q пробегает группу, дуальную к Z).
Выберем теперь N попарно неперееекающнхея вихревых областей, зацепленных
с фиксированным замкнутым контуром С, как показано на рисунке. Имеет
место
Теорема 4.20 [70]. Справедлива оценка
I (С)) | < х, (Ю П sup рА , , (qx) , (4.54)
1=18дА[ 1 dAi
где qx- ограничение представления т (которое предполагается
неприводимым) на центр группы G.
. N О О
Доказательство. Пусть А° = Л \U Лг, где Л? - внут-
/=1
ренность А,- (рассматриваемого здесь как множество рёбер). Тогда
Произведем в правой части равенства (4.55) замену переменных, которая
соответствует сингулярному калибровочному преобразованию (т. е. оставляет
все плакетные переменные неизменными) в Ас и поворачивает граничные
условия ggA
на элемент со,: (t = 1, ..., N). Легко видеть, что такая замена
существует. Имеем
/ Xt(n>*) JL \
<г. <с>>л - ш П гл" .,(*",)/ /л
' г-i ' лс
Усредняя по соь ..., солт, получаем
N
<* (С)>Л " (П [h,. ,аЛ( <¦,)$***,•.,(гол,)] * (*"))
(4.56)
V
4. Некоторые дальнейшие резулышы
99
Так как | хх (g'c) К %х I11) и
то из (4.56) вытекает утверждение теоремы. ?
В целях интерпретации этой теоремы покажем, как с ее помощью удержание
(или, что почти то же самое, закон площади для петли Вильсона) выводится
из свойств свободной энергии вихрей (это не было доказано в случае слабой
связи!).
Допустим, что свободная энергия па единицу длины (в размерности d = 3)
или на единицу площади поверхности (в размерности d = 4) вихревой области
быстро становится независимой от поворотов граничных условий при
увеличении толщины области. Более точно, предположим, что
Z А, га (?<Э,\)
log
(?д\)
где d-"толщина" Л. Тогда, выбрав достаточно большое
d, мы можем считать, что \T\e~md ^ |, где I достаточно мало.
Для простоты рассмотрим случай G ~ SU (2). Тогда существует только один
нетривиальный характер %q, и для этого q мы имеем
/ N ZA, <1 (?<эл) ~ ZA, -'] (#д\) 1 ~ ZA, -" (SdA)lZA. <1 (ёд\)
Ра¦ W _ 2л, ц (Bax) + za. (Soa) ~~'+za, -j (Bax)/ZA, n (Sax)-В силу
предположения (4.57)
I Pa s I < < (el - 1) (e 4- 1) = 2 sh g.
I ' ydA I e * - 1
Если петля Вильсона С настолько велика, что может быть зацеплена с N
вихревыми областями нужной толщины, то из теоремы следует оценка
|<ИМС)>|< 2(2sh?)"
(если т - фундаментальное представление SU('2)).
Остается еще проблема упаковхи. Простое рассуждение показывает, что
прямоугольный контур со сторонами L и Т может быть зацеплен с L7y(logL)2
вихревыми областями длиной | Ti\ и толщиной di, удовлетворяющими
неравенству | Тi \ e~md> для всех /. Это не совсем дает закон площади, но
