Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Я постараюсь дать по сути дела полное доказательство теоремы Гута, но так
как его статья занимает (в виде препринта) около 50 страниц, то мне
придется пожертвовать некоторыми подробностями. Многие идеи и большая
часть формализма уже использовались ранее в [77]. Доказательство,
приведенное ниже, в ряде деталей отличается от оригинального
доказательства Гута.
Замечание. Теорема Гута в определенном смысле представляет собой
результат того же типа, что и доказательство фазового перехода Костерлица
- Таулесса [60]. Фрёлих и Спенсер [87], применив метод "ренорм-группы" из
[60], дали другое доказательство теоремы Гута. Они доказали также^ что
даже Zn-решёточная калибровочная модель в добавление1 к стандартным
высоко- и низкотемпературным фазам имеет "гсу-лонову" фазу при
промежуточных значениях константы связи, если только п достаточно велико;
соображения в пользу этого были указаны уже в [61].
Прежде всего нам потребуется некоторый формализм. Мы всё время будем
работать в конечном объеме А, но нам нужны оценки, не зависящие от А. Мы
по-прежнему будем считать, что А есть подмножество простой кубической
решетки Z4, хотя это и несущественно.
Назовем функции точек (0-клеток) из А с целыми или вещественными
значениями 0-цепями, функции плакетов (2-клеток) 2-цепями и т. д. (Здесь
используется аналогия с дифференциальными формами. Некоторые, возможно,
предпочли бы называть эти функции коцепями.) В пространстве цепей имеется
естественное /2-скалярное произведение, так что существует естественный
способ отождествления цепей и коцепей.
Определим граничный оператор б из пространства р-цепей в пространство (р-
1)-цепей стандартным образом. Если со - некоторая p-цепь, то значение бсо
на (р-1)-клетке есть сумма значений и на всех р-клетках, содержащих эту
(р - 1)-клетку, взятых с надлежащей ориентацией. Оператор б аналогичен
оператору дивергенции. Пример дан на рис. 16.
84
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Оператор, /2-сопряженный к б, обозначается через й. Он соответствует
внешней производной. Пример дан на рис. 17.
Используемые нами обозначения отличаются от стандартных обозначений
алгебраической топологии, однако в них отражена аналогия с
дифференциальными формами.
Заметим, что изменение ориентации клетки меняет знак соответствующей цепи
на противоположный.
РИС. 16. 6(0s = "Ь ^2 ~Ъ W3 "Ь ^4- РИС. 17. dСОр - СО 1 -0)2 ~Ь (йз Ч~
в)4.
Переходя от Л к дуальному объему *Л, мы получаем отображение дуализации *
из пространства p-цепей в пространство (4- р)-цепей, соответствующее
оператору Ходжа. Приведем два основных факта.
Лемма 4.3. б2 - 0 = d2.
Лемма 4.4. (разложение Ходжа). Для всякой p-цепи со существуют (p-f 1)-
цепь а, (р-1)-цепь р и гармоническая p-цепь h (т. е. цепь, подчиняющаяся
соотношениям б/г = 0 = = dh), такие что
со = бсс + ф + й. (4.10)
Мы не даем доказательства этих хорошо известных и простых алгебраических
фактов (см., например, [98]!)).
Начиная с этого момента, мы ограничимся топологически тривиальными
объемами Л, для которых не существует гармонических цепей. Это
эквивалентно тому, что каждая p-цепь ш, удовлетворяющая условию dco = 0,
имеет вид со = dp ("лемма Пуанкаре"), и в этом случае мы говорим, что Л
имеет тривиальные (ко)гомологии. Это ограничение не является необходимым,
но приводит к упрощению рассуждений. В частности, можно взять в качестве
Л прямоугольный параллелепипед в Z4, из которого исключены клетки его
геометрической границы ("граничные условия Дирихле"), или двойственный к
нему объем. Теперь определим лапласиан.
Определение 4.5. А = d8 + 6d. (Обратите внимание на выбор знака!)
Или [9*]Прим. ред.
4. Некоторые дальнейшие результаты
85
Лемма 4.6. На пространстве p-цепей четырехмерного объема А с тривиальными
когомологиями выполняется неравенство
Доказательство. Оценка снизу (в действительности, как можно показать,
нижняя граница имеет порядок |Л|_|/2) вытекает из отсутствия
гармонических цепей. Оценка сверху объясняется тем, что решётка
обеспечивает ультрафиолетовое обрезание. Это легко понять на бесконечной
решётке с помощью преобразования Фурье. Конечность объема на самом деле
уменьшает А, так как она означает замену бесконечнообъёмного лапласиана
Лео на РА^Р, где Р - проектор (см.
[64], где всё это обсуждается более детально). ?
Теперь перейдем к вильсоновой петле в чистой U (\) -калибровочной модели
Виллэна. Вильсонова петля Wn(C) может быть описана 1-цепью /, принимающей
некоторое целое значение п на рёбрах из С и значение 0 на остальных
рёбрах. (В случае действия Виллэна неразумно рассматривать петли Вильсона
с нецелым зарядом.) Можно представлять себе цепь / как поток через С.
Имеем
Начиная с этого места, Z будет обозначать нормирующий множитель, в каждом
случае свой.
Теорема 4.7. (Гут [64]). Если gl достаточно мало (в действительности,
если gg < 0.168), то существует функция g(go), такая что
Замечание. Отсюда вытекает закон периметра для вильсоновой петли, т. е.
