Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
64
Ч. 1. Решёточные калибровочные теории
ных групп G разложения должны быть соответствующим образом преобразованы
(см. раздел 4с).
Доказательство. Мы укажем лишь некоторые общие идеи, так как детали
доказательства те же, что и в случае теоремы 3.14.
Свойство 1) по существу доказывается так же, как и свойство 1) в теореме
3.14.
Свойство 2). В случае d = 3 главные полимеры - это вихревые линии,
охватывающие петлю (рис. 10) (см. Макк [48], Гёпферт [96]). Воспользуемся
кластерным разложением типа
разложения (3.35) для петли т'Хоофта, т. е. запишем
lo gZA(W%) - log ZK=-
(З-ЭД
X
Рис. 10. Число главных членов здесь
равно О (| С |); оценка остатка проводится так же, как и в доказательстве
свойства 3) в предыдущей теореме (в действительности здесь это даже
легче, так как отсутствует интегрирование).
Свойство 3). Применим разложение типа (3.32) для параметра беспорядка:
(Da (S))A = ZA (со, S)/Za = ^ log (ZA + aZA (со, S)) |e_0. (3.56)
Za(co, S) разлагается по дефектам аналогично Za(H, S) - Za, но
ограничения на границе dS будут другими ввиду сингулярности
"калибровочного преобразования" со. В частности, всегда будет
присутствовать дефект у, имеющий ту же границу, что и S.
Разлагая в (3.56) логарифм и дифференцируя, получаем <C"<S")a = S'
(3.57)
X
где суммирование Yj' производится по всем мультииндексам X, обладающим
следующим свойством:
Существует отмеченный полимер (дефект) y0> Для которого X (уо) = 1 и
который получается из обычного допустимого дефекта при помощи
сингулярного калибровочного преобразования со; все другие дефекты у с
Х(у)>0 подчиняются немодифицированному ограничению (т. е. они должны
получаться из калибровочного поля).
3. Методы разложения в ряд
65
Отмеченный дефект дает множитель
--Y I Yo I
I *со, S (Yo) I = 6 S°
где
для d = 4: | yo I >А(0 (C = dS), для d = 3: | Yo I > dist {x, y) ((xy) =
dS),
так что для d = 4 мы получаем закон площади, а для d = 3 -
экспоненциальную кластерность, как и утверждалось. ?
Теперь мы хотим включить поля материи в наши модели. Сначала рассмотрим
модели Хиггса (без фермионов) с так называемым полным нарушением
симметрии. Это значит, что стационарная подгруппа произвольной точки ф0,
минимизирующей V(|^" |), тривиальна. Мы сделаем также упрощающее
(несущественное) предположение, что Un(G) действует тран-зитивно на этом
пространстве минимумов.
Вот примеры такой ситуации:
1) G = l)\ 1), ф(х) е С, ф преобразуется по фундаментальному
представлению.
2) G = SU(2), ф преобразуется по фундаментальному представлению.
3) G = 50(3), ф состоит из пары компонент в векторном представлении;
предполагается, что потенциал достигает минимума на некоторой
ортогональной паре.
Для простоты наложим формально на V следующее ограничение: будем
рассматривать поля ф фиксированной длины (скажем, |^|=1). Это
несущественно, но позволяет избавиться от некоторых технических
усложнений (обсуждение более общей ситуации см. в [19]). Тогда справедлив
следующий результат:
Теорема 3.18. В модели Хиггса с полным нарушением симметрии и \ф\= 1
"высокотемпературное" кластерное разложение сходится в области {Я, il и
g02 достаточно малы или Kgl достаточно велико}.
В этой области имеют место:
1) экспоненциальная кластерность;
2) закон площади для петли т'Хоофта в случае d = 4, экспоненциальная
кластерность для дефектов (монополей) в случае d - 3 и X > 0;
3) закон периметра для петли Вильсона при К >¦ 0.
Замечания. 1. Наиболее характерная особенность ситуации состоит в
расширении области сходимости кластерного
66
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
разложения на малые g-j, в предположении что X велико. Это - проявление
механизма Хиггса. Этот факт был доказан в [19] и обсуждался впоследствии
в [49].
2. Благодаря наличию поля Хиггса переменные беспорядка зависят от всего
множества S, на котором были модифицированы переменные, отвечающие
плакетам, а не только от его кограницы. Поэтому "петля т'Хоофта" в
действительности зависит от поверхности, ограниченной этой петлей.
Доказательство. Условие полного нарушения симметрии вместе с нашим
предположением о транзитивности означают, что пространство, на котором
"живут" поля Хиггса, гомео-морфно группе G, и мы можем заменить поле ф
полем, принимающим значения в G.
(Зафиксируем ф0<=°11н\ тогда однозначно определена точка hx ^ G, такая
что ин(кх)фо - Ф{х).)
Поле Хиггса может быть полностью уничтожено благодаря так называемой U-
калибровке. Последнее означает, что мы делаем калибровочное
преобразование
ёху~^^х Sxy^y, ф(х)->ин (hx1) ф (X) = ф0.
В преобразованных переменных действие Хиггса (с точностью до постоянной)
имеет вид
Sh (tex"}) = Я, Z (1 - (Фо, Uh (Мху) Фо))- (3.68)
(ху)
Но 1 - (фо, Uh (gXy) Фо) > 0 и =0 только для g = 11; это значит, что
действие Хиггса обладает свойством увеличения веса окрестности единицы в
пространстве калибровочных полей, аналогично магнитному полю в спиновых
системах. Это приводит к эффективному возрастанию g\ и, следовательно, к
