Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
калибровкой". Здесь поле Хиггса живет в пространстве классов смежности
(факторгруппе) F=G/H\ меру da(g) можно определить так же, как и прежде,
но теперь она будет сосредоточена не в окрестности единицы 1е С, а в
окрестности подгруппы Н.
В соответствии с этим разобьем G на ряд подмножеств.
Сначала выберем достаточно малую окрестность U единицы;
она должна быть инвариантна относительно сопряжений, и
мы требуем, чтобы hU Л h'U ф 0 для любых h, h' е Н, Нф h'.
Множество/; = G\ jj hU назовем исключительным. ft<= н
Чтобы определить полимеры, надо сначала грубо разбить пространство
полевых конфигураций в соответствии с разбиением группы G. Мы
характеризуем классы полевых конфигураций следующими признаками:
(a) множеством ребер (х,у), для которых gxy е Е;
(b) множеством Н-дефектов, т. е. множеством плакетов, для которых gdp
лежит в одном из множеств h.U с Нф И; предполагается, что U столь мало,
что плакет Р не может принадлежать Н-дефекту, если все четыре переменные
guy), соответствующие ребрам {ху) е Р, принадлежат одному и тому же
множеству hU.
Для любого плакета Р, не принадлежащего множеству Н-дефектов, величина
ехр ((1/2^) х (§р)) будет с большой вероятностью близка к 1 (по мере do),
так что мы можем проделать обычное "высокотемпературное" разложение для
таких плакетов. Решающий момент в доказательстве состоит в том, чтобы
понять, какие факторизационные свойства при этом возникают.
Посмотрим на "пустые" области решетки, т. е. области, в которых все gxy
"близки" к Н и выражение ехр ((1/2^5) % (gP)) заменено на 1. Обозначим
через hxy элемент подгруппы Н, который близок к gxy (т. е. gxy ?= hxyU).
В нашей пустой области конфигурация {hxy} определена с точностью до Н-
калибровоч-ного преобразования. Мы можем, ничего не испортив, фиксировать
такую Н-калибровку произвольным образом. Это означает, что вклады от двух
множеств, которые разделены "пустой" областью, факторизуются.
Следует подчеркнуть, что для того, чтобы некоторое множество могло быть
"пустой" областью, оно должно быть гранесвязным (т. е. связанным с
помощью граней) множеством кубов для d - 3 и гране-связным множеством
гиперкубов для d = 4.
Тогда любой полимер задается косвязным множеством Н-дефектов (т, е,
множеством, двойственное к которому связ-
3. Методы разложения q ряд
71
но) и множеством плакетов, не разделенными пустой областью.
Ясно, что область параметров определяется таким образом, чтобы полимеры
имели малую активность. Поэтому доказательство квазитеоремы 3.20 должно
пройти без каких-либо трудностей. Однако полезно провести доказательство
со всеми подробностями; мы предоставляем это читателю в качестве
упражнения. ?
Замечание. Такого рода комбинирование низко- и высокотемпературных
разложений напоминает разложение около среднего поля Глимма, Джафф^ и
Спенсера [50]1}, но в данной решёточной системе оно, конечно, много
проще.
В следующей главе мы вернемся к модели Хиггса и обсудим более детально
абелевы модели, которые включают в себя понятие 0-состояний.
В заключение этого обсуждения моделей Хиггса приведем ожидаемые фазовые
диаграммы для конечной калибровочной группы G (рис. 11).
Замечания. "Отросток" на левой нижней диаграмме, оканчивающийся в
критической точке, подсказан численными результатами, полученными для d =
3, 0 = Z2 [54].
Используя соображения двойственности, можно до некоторой степени
увеличить заштрихованные области в абелевых теориях (d - 3).
Для некоторых моделей (d = 3, G = Zn, п ^ 5) границы фаз расширяются за
счет включения промежуточной кулоно-вой фазы [61, 87].
Последнее по порядку, но не по значению замечание касается перехода к
фермионным моделям. С точки зрения физики они являются, конечно, наиболее
интересными. Однако до сих пор в исследованиях, проводимых методами
разложения в ряд, большая часть пространства параметров в расчет не
принимается, и, конечно, здесь желательно более глубокое понимание.
Теорема 3.21. Для калибровочной фермианной модели (такой как решеточная
квантовая хромодинамика), для которой представление Uf группы G является
точным, "высокотемпературное" кластерное разложение сходится в области
{и, g%i g\ велико и % мало}.
В этой области имеют место:
1) экспоненциальная кластерность;
2) закон периметра для петель Вильсона;
*> См. также книгу Глимма и Джаффе [12]. - Прим. ред.
72
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
3) закон площади для петель т'Хоофта при d = 4; экспоненциальная
кластерность дефектов при d = 3. Замечания. 1. Аналогичное сходящееся
разложение обсуждалось Гавендзким [52] и Чэллифором и Вейнгартеном [53]
(однако их критерий удержания кварков не выглядит особенно удачным). f)
d= 2
2) d*5
Рис. 11. Заштрихованные области - сходящиеся разложения; сплошные линии -
ожидаемые фазовые переходы; крестики - критические точки.
2. Закон периметра для петли Вильсона следует интерпретировать не как
опровержение гипотезы об удержании кварков, а как признак адронизации.
Далеко разведенная пара внешних зарядов будет поляризовывать вакуум,
