Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
1).
Доказательство леммы 3.15 окончено. ?
Замечание. Из предыдущего следует также, что ах = оо, если представление
г нетривиально на центре, но представление а, входящее в выражение для
действия, тривиально на центре.
Продолжим доказательство теоремы 3.14.
Для доказательства свойства 3) нам надо воспользоваться разложением
(3.35). Рассмотрим случай d = 3. Пусть 5 = = *S <Ху> - множество
плакетов, изображенное на рис. 8
Чосуу
Л- - -
/1 /1
/
/
/
/
Рис. 8.
(х, у - узлы двойственной решетки). Используя очевидные обозначения,
запишем
(хуУ = dS ay,
(т. е. пара <хг/>- граница струны 5<w>). Заметим, что замена gdp^-(agdp
для P&*S{Xy> может быть произведена путем умножения некоторых переменных
gxy, соответствующих рёбрам, на ш, в предположении что полимер у не
пересекает кограницы множества *5<ад> (состоящей из элементарных кубов с
центрами в точках х и у). Поэтому, в силу инвариантности меры Хаара, для
такого полимера у
s(Y) = ^, 0Ы-
Следовательно, главный вклад в разложение (3.35) будут вносить
мультииндексы ("кластеры") 6VYv или 6YYy, которые обращаются в нуль
всюду, кроме единственного полимера ух или уу, состоящего из
элементарного куба, двойственного к х
3. Методы разложения в ряд
61
или у соответственно: 6уу (Ух)~ 1 и 6уу (уу)= 1- Таким об-
разом, главные члены ведут себя нужным образом.
Для получения оценки снизу нам понадобится один промежуточный результат
об остаточном члене.
Предложение 3.16. Пусть Re(l/gg) достаточно велико. Тогда
Доказательство представляет собой простую вариацию доказательства теоремы
3.13. Надо только заметить следующее. Пусть (c)ар = со для Ре*5 и со = И
для Р ф *S. Тогда
Представив эту разность произведений в виде суммы разностей произведений,
различающихся лишь одним сомножителем, и, воспользовавшись тем фактом,
что для больших gfi найдется такое с > 1, при котором
-Ц- X (s)
&4\ *(1) _ { ^ с e2go - -1
получим
<К*(8,ъ)-*1.0(в"Лсв
-ь
{Ь = о (Re log g-0-2)).
2<о, S (v) - 2ц. 0 (Y) =
•)-П (¦
P e Y
e
-П>Х(8др) , S0
(3.61)
y)~zb 0(Y)|
62
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Так как
мы заключаем, что
|2w,s(Y)-2r. 0(Y)|
const
go
2
-2 1 Y 1 + 6
¦'со, S
(V) ^(VJI
J Yl
(3.B2)
Для оценки разности z
x _______
a, S
11,0
воспользуемся еще раз та-
ким же приемом. В результате получим
'И, S 0
go
2с
- ? X (Y) I Y 1
|Я<0, s(6YYj *t0(6YY*)|-
(З.ВЗ)
Теперь можно применить теорему 8.13. Предложение 3.16 доказано. ?
Предложение 3.16 гарантирует, что главные члены действительно вносят
основной вклад равномерно по S, так что в
трехмерном случае теоремы 3.14 свойство 3) доказано. Для d = 4 ситуация
вполне аналогична, только геометрия в этом случае несколько сложнее.
Главные члены происходят теперь от полимеров, которые являются
элементарными кубами, двойственными к рёбрам, содержащимся в С, и число
таких членов есть 0(|С|). Остаток может быть оценен, как и раньше.
Для доказательства свойства 4) используем тот же метод. При сделанных
предположениях существует полимер у, дающий главный вклад и состоящий из
тора, содержащего С (рис. 9), так что |y| = 0(|C|). Главный член
разложения имеет вид ехр(-рт|С|). Чтобы оценить остаток, покажем, что для
у' э у
| (Y0 I ^ | zwx (Y) I V • (3.54)
3. Методы разложения в ряд
63
Ясно, что это неравенство будет выполнено, если вычитанием подходящей
постоянной из действия мы добьемся, чтобы рер ^ 0, ибо тогда
(заметим, что g\ должно быть здесь вещественным).
Этим завершается доказательство теоремы 3.14. ?
Обратимся теперь к "низкотемпературной" области для чистых теорий Янга -
Миллса.
Теорема 3.17. В чистой решёточной теории Янга -Миллса с конечной
калибровочной группой G существует "низкотемпературная" фаза (Reg0~2
достаточно велико) со следующими свойствами:
1) Сильное кластерное свойство:
(обозначения см. в теореме 3.14).
2) Петля Вильсона удовлетворяет закону периметра, т. е.
при d^3.
3) Для петли т'Хоофта в случае d = 4 выполняется закон площади, т. е.
где Л (С) -число плакетов двойственной решетки в минимальной поверхности,
ограниченной С. Для d = 3 точечные дефекты обладают экспоненциальной
кластерностью (вихри являются массивными).
Замечания. Свойство 2) было отмечено для С = Z2 Вег-нером [5] и
обсуждалось также в качестве одной из возможностей Вильсоном [6].
Набросок доказательства для d = 3 и G = Z2 дан Галлавотти и др. [38].
Свойство 3) было сформулировано т'Хоофтом [26]. Для абелевых групп G уже
довольно давно было известно, что теорема 3.17 получается с помощью
преобразования двойственности из теоремы 3.14 (см. [5]). Для неабелевых
групп, однако, это трудно (а может быть, и невозможно) сделать.
Интерпретация свойств 2) и 3) следующая: кварки не удерживаются, а
монополи удерживаются.
Конечность группы G в действительности не существенна,
важна только ее дискретность; но для бесконечных дискрет
Реу
Pev'\V
Р е у' \ у
ОО
|<Лг, ... ; Лл>| С(||Лill, ..., ||Л"||)ехр(-mt(A\, ..., А"))
| <Z)W(C)> | < const-e-"a>A(C) (aa>0),
