Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зайлер Э. -> "Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой" -> 15

Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.

Зайлер Э. Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой — М.: Мир, 1985. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochnieteoriisvyazi1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 76 >> Следующая

калибровочной группой были предложены в качестве реалистических моделей
для дефектов в упорядоченных средах [7].
Существуют и другие типы разложений, такие как 1/d-разложения (см.,
например, [82, 83]), которые не будут здесь обсуждаться.
Мой подход к разложениям, безусловно, неоригинален (иначе, по-видимому, и
невозможно!), но он не совпадает полностью ни с одним из подходов,
которые я обнаружил в литературе. В частности, я пытался отделить,
насколько это возможно, чисто комбинаторные факты от оценок, зависящих от
специальной структуры решетки (в частности, от ее размерности), во многом
в духе Малышева [42]
а. Общий алгебраический формализм для полимеров
Здесь мы разовьём абстрактную теорию кластерных разложений для полимеров,
используя метод формальных степенных рядов; изложение в значительной
степени навеяно работой [39].
Пусть Г0 - некоторое (конечное) множество, элементы которого 7i, у-2, ...
называются полимерами. Предположим, что задана функция
g: Г"Х Го-40,-1},
такая что g(y, у) = -1 для всех у е Г0. Мы говорим, что у и у'
совместимы, если g'(v,Y/)==0> и несовместимы - в противном случае.
]) См. также работы Малышева [4*, 5*]. - Прим. ред.
40
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Далее, для каждого у е Г0 задана активность z(y), которая иногда
интерпретируется как неопределенная переменная, а иногда - как
комплексное число; из контекста будет ясно, какая интерпретация имеется в
виду.
Определение 3.1. Величина
Z({z(v)U)a Z П 2(Y) П (l+S(Yi, Y/)) (3.2)
Гс:Го уеГ К!
V,. 7уеГ
называется статистической суммой. Величина
Ф (Г) = П (1 + gr (Yi* Y/)) (3.3)
i<l
У{.У/^Г
называется фактором Больцмана.
Через X, Y и т. д. мы будем обозначать функции Г0-^М, т. е.
мультииндексы. Положим
(3-4)
Ysr0
для монома, соответствующего мультииндексу X. Пусть, далее,
XI ^ П *(Y)!. п(Х)^ 2 X(Y). (3.5)
Y"=r0 уеГо
Если XI = 1, то мы можем отождествить X е подмножеством Гх={теГо|Х(7)=
1}.
Положив
a/y\ ЖГХ), если Х1 = 1,
10, если XI > 1,
мы можем написать тогда, что
z=2>W)-
Определение 3.2. Пусть fi, f3 - функции, определенные на на-шев множестве
мультииндексов и принимающие значения в С. Положим
(U*h)(X)^ ? ШХ)Ш2). (з.б)
Xt+Xi=X
Замечание. Если интерпретировать и f2 как последовательности
коэффициентов формальных степенных рядов, то fi*f2 есть
последовательность коэффициентов произведения этих рядов.
3. Методы разложения в ряд
41
Определение 3.3. Функцией Урселла называется функция
Доказательство. Это вытекает из замечания после опре-деленйя 3.2. ?
Теперь мы получим явную формулу для ФТ(Х), выведенную в работе
Галлавотти, Миракль-Соля и Мартин-Лёфа [39] и известную в теории
разложений Майера.
Лемма 3.5.
Здесь 0(X) - граф с вершинами yi, •••, Y"u> и рёбрами, соединяющими у й
у' (у ф у') в том й только том случае, когда
- 1 (каждая вершина у берется в количестве эк-
земпляров, равном .X'(y); суммирование производится по всем связным
подграфам С, имеющим те же самые вершины; 1(C)- число ребер в С).
Доказательство. Имеем
Ф(Х) = П (1 + g(4i> Y/)) = Е П g(Yi. Y/). (3-9)
"/ а {(, /)еО
X (V|). X (Y/)>О
где суммирование производится по всем графам на N = = {1,2, ..., п(Х)},
т. е. по всем множествам двухэлементных подШюжеств множества N (заметим,
что такие графы имеют самое большее одно ребро менаду любыми двумя
вершинами), Пусть множество (yi......Y"w) таково, что в нем имеется
Фт(X) - (logФ) (X),
где для любой функции f
( I, если X = О,
(Ов противном случае.
Предложение 3.4.
logZ = Z фт(Х)гх.
X
4>ЦХ)-=-^а(Х),
(3.7)
где
(3.8)
42
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Х(у) экземпляров каждого у. Положим для М cz N g(M) =
Z П g(Vi, Y/) при | Af |>2,
С ^ i<j i, /s=M
1
(3.10)
при | М | - 1,
0 при М - ф
обозначает сумму по всем связным графам на М, т. е.
\с м
графам с множеством вершин, совпадающим с М). Тогда
Ф(х)= Е' sm...g(Nj (з.и)
m ,
U N--N " = 1
(S' обозначает сумму по различным разбиениям множества N на подмножества
N\, Nm\ при фиксированных |jVi|, ... ..., | Л^т | существует
1 "(X)!
т\ |Л', I! ... \tf,n\l
таких разбиений).
Мы полагаем также
§ (Yi..........\n) =
Z П g (Yi.Y/) при iV> 2,
C (i,/)sC
1 при N - 1, (3.12)
0 при N = 0
( Z обозначает сумму по всем связным графам на yi, ..., yN).
Для того чтобы вычислить (log ф) (X) - фТ (X), удобно
представить формальный степенной ряд для Z в чуть иной форме:
со П
Z==Ei Е nz^*)E[(1+g(Y/. Y/)) (3.13)
(суммирование производится по всем упорядоченным последовательностям yi.
Уп)- Используя (3.11), получаем
оо п
7.Т ? Пг<т<> Z "№)..."№"). (3.14)
п=0 Vt Y"i-1 ZNrn
Переупорядочим эту сумму, производя суммирование сначала по тем
последовательностям, которые образуют "кластеры", соответствующие Ni,
Nm, при фиксированных эна-
Методы разложения в ряд
43
чениях iii - | /V11.........п,п = | Nm |. Получим
ор оо
Z = Z П.! ... ит! Х
и -0 m =0 п(, ..., п
I",-"
m / п1 \
ХШ S' (Yu • • •, \'пг)П 2(y/) , (3.15>
i_1Vi................................Ч 1=1 J
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed