Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
как теплоемкость неот-
S. Методы разложения в ряд
53
рицательна. Следовательно, S/d максимально, когда "свободная энергия"
обращается в нуль, т. е. при (5== Ро = -log(1 - е~Го):
SUp А - г°еГ° ~ (еГ° - 0 lQg ~ О
Р d ' ег" + г0 - 1
^гие~Га - (1 -е"Го) log" (1 - о •''!.]
Учитывая (3.44) и неравенство
1 + log d <г- 2_
d е '
мы видим, что можно взять (для Г0^1)
Замечание. Из доказательства видно, что для Го ^ 1 постоянная К может
быть уменьшена, но никогда не может быть взята меньшей log С.
Из теоремы 3.12 вытекает следующий результат о сходимости:
Теорема 3.13. Пусть 12 (у) j ехр (-6(7]), Ъ > Ьо = 2 +
+ К + log С, Х0 - фиксированное множество полимеров. Положим
F = d - = r0 + log (1 - е-Р)
K = j+logC. ?
i^o!= Z I Y I-
Существует такая постоянная с, что
где Z' обозначает сумму по всем таким X, для которых
Z е (Y. Yo) X (Y) Ф 0.
Vo s х0
Доказательство. По теореме 3.12
' 2Х ±Ш_ < V ТТ I V1X (V).
64
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Выражение справа можно переписать следующим образом:
(и, конечно, yi, yi соответствуют связному графу). Если мы зададим
размеры полимеров 71, ..., уi равными k\ = = |yi|, ki - \yi\, то по лемме
3.11 существует самое большее
Теорема 3.13 дает достаточное условие сходимости кластерного разложения
(3.35). Для разложения (3.33) небхо-димо привлечь небольшое
дополнительное соображение. Так как один из полимеров, скажем уА, будет
состоять из некоторого числа обычных полимеров вместе с носителем
наблюдаемой А, нужна оценка числа таких конфигураций для заданного ул-
Легко видеть, что это число не превосходит
оо
/ = 1 Yj..............Y/ Л,........................1^ = 1
Z ?' тП
в-(Ь~К)\ Y;|
1>И[...YI ?=1
T^kTTvTT
где обозначает сумму по всем упорядоченным наборам 71, ..., уI, для
которых
I
(i+log С) ? *.
( 1
таких наборов. Поэтому
i> 1 ku
"Ь • * • >
k,>i
<ix0l J]
gl + iv + log C-b
1 _ el + K + log C-b
log C-b
1 - C~le~2
^ const • e~b+b°. ?
3. Методы разложения в ряд
55
| Л |C|Vi4 Дальше мы можем действовать, как раньше. Отметим важное
следствие полученного результата:
Следствие 3.13'. Пусть
|г(у)Ке "6! vl,
где Ъ достаточно велико (Ь > 4/е + 2 + 21og С). Тогда кластерные
разложения (3.33) и (3.35) сходятся абсолютно и равномерно в Л. Предел
при A^P,d существует, не зависит от граничных условий и является
аналитической функцией основных констант взаимодействия в области, где
выполнена предположенная оценка для 2(7).
Доказательство стандартно и после всего сказанного совершенно тривиально.
?
Замечание по корректуре. После того как рукопись этой книги уже была
сдана в печать появился препринт К- Каммароты, изданный Римским
университетом ("Убывание корреляций в системах с неограниченным спином с
бесконечным радиусом взаимодействия"; статья должна появиться в Comm.
Math. Phys.[). Каммарота следует стратегии, аналогичной использованной
здесь при доказательстве .сходимости кластерных разложений; он использует
комбинаторику в некотором смысле более эффективно. Поэтому я хочу
обрисовать его метод применительно к нашей ситуации.
Вместо того чтобы применять теоремы 3.12 и 3.13, можно действовать
следующим образом. Сначала произведем суммирование по всем мультииндексам
(кластерам) X, возникающим из фиксированного (связного) графа, а затем
просуммируем по графам. Суммирование по связным графам может быть
заменено двойным суммированием: сначала по всем графам, содержащим
фиксированное дерево Т, а затем - по деревьям, в предположении что мы
подправляем вычисления, деляна \?T(G(X))\ (см. теорему 3.6).
В результате получим
*> Она уже появилась! 85 (1082), № 4, с. 517-528.-Прим. ред.
х т Х-. а (X) гз г
и, следовательно, по теореме 3.6
56
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
где X обозначает сумму по всем деревьям с п вершинами, а
тп
п\
Z lklzX'
Х-. G(X) = Т"
Удобно переписать последнее выражение так:
П
П г М
(r)(г*)= 2У
Vi....Уп
О (Yj. .... Y") = Гп
I-1
Напомним, что штрих при знаке суммы означает, что один из полимеров
должен быть несовместим с фиксированным множеством полимеров Х0; поэтому
мы можем оценить а(Тп), предположив, что такой полимер совпадает с 71, а
затем умножив результат на п. Напомним также, что по лемме 3.11
Yj |z(Y)K(Ce-ft)*=e*.
I Yol
g (Y. Yo)- - 1
Подставляя это неравенство в формулу для со (Г"), получаем
к....*">1 I-1 <-1
Воспользовавшись оценкой
k>\ ?3-1
П
справедливой при е < е~\ находим, что
п
со (Тп) < ? (<СТп (Ъ) - l)l (-"гу)" I Х0 I п.
По формуле Кэли число деревьев с вершинами {уь • уп) т
и фиксированными Cn(yi)^dl, i = 1, ..., п, равно
("-2)1 №-1)! - ... • {dn - 1)Г
а из одной простой комбинаторной оценки следует, что число
П
последовательностей d\......dn, для которых di = 2ri - 2
<=1
(что имеет место в нашем случае), не превосходит
3. Методы разложения в ряд
57
Собирая всё вместе, получаем
*>1 Тп п >
п>
откуда следует сходимость кластерного разложения, при условии что е <
1/5, или
Это - значительное улучшение оценки, данной в следствии 3.13'; последнюю
