Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
интерпретировать как "нарушение механизма Хиггса".
Для больших К и gl > 0 существует высокотемпературная фаза со сходящимся
кластерным разложением (см. разд. 3).
Наконец, при go"(r)' 0 = 0 рассматриваемая модель сводится к виллэновой
модели плоских ротаторов. Эта модель демонстрирует существование
знаменитого перехода Костер-лица- Таулесса [59]2), как было строго
доказано Фрёлихом и Спенсером [60].
Теперь перейдем к "удержанию дробных зарядов" для G = U( 1).
ч См. работу Малышева [8*]. - Прим. ред.
2> Впервые этот фазовый переход был обнаружен Березинским [3*]. Смысл его
в том, что существует критическое значение обратной температуры Рсг,
такое что при Р < (5СГ (высокотемпературная фаза) бинарные корреляции
убывают экспоненциально, в то время как при Й > |3СГ их убывание
становится степенным, причем показатель степени зависит от (3. - Прим.
ред.
78
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
Теорема 4.2. Пусть
Zfl л
е(0) = lim ТлТ1о?~г
Л Л Z2 I л I *0, л
Тогда
1) е (0) - периодическая функция с периодом 2л;
2) е (0) < 0; е (0) < 0 для 0 ф 0 mod 2л;
3) справедлива оценка
I <Г6' (С))е | < е(Е (0+ео-е (0" л (Q
где
WV(C)= П
од> <= С
а Л (С)-площадь, ограниченная контуром С.
Замечание. В несколько менее общей форме эта теорема доказана в [62]. По
существу в том же виде она появилась в [58]. Оценка 3) означает удержание
дробных зарядов, если положить 0 = 0.
Доказательство. Несмотря на комплексный множитель, фигурирующий в среднем
значении, 0-состояния обладают свойством положительности по Остервальдеру
- Шрадеру.
Далее, используя положительность по Остервальдеру - Шрадеру для
свободного среднего <-)о, можно убедиться в существовании предела
lim ТТТ logze. л л Л Z2 I л I
для прямоугольников Л. Действительно, пусть Л--прямоугольник со сторонами
L и Т, и пусть Ze, lt = Ze,\. Тогда из неравенства Шварца вытекает (как в
доказательстве леммы 2.4), что
7 <CZl>2 Z1/2
^0, LT ^0, LTi Q, L (2Г-Л)
(L, Т, Ti нечётны).
Это означает, что log Ze, lt - выпуклая функция от Т (и L)
и, следовательно,
1 . rrZa
(Z. _ 1) (Г - 1) Zq ,rz,
log-
0, ?7^0, 11
0, 1ГА0, LI
возрастает no L и Т. Ясно, что величина [\/LT)\ogZe, lt равномерно
ограничена по L и Т, и мы без труда получаем, что существует ее предел
при L, Т оо.
Тем самым существование е(0) доказано. (Идея этого доказательства
восходит к работе Гуэрры [63].)
4. Некоторые дальнейшие результаты
Неравенство е(0)^О тривиально. Периодичность устанавливается с помощью
преобразования дуальности так же, как в (4.4). Повторно используя
неравенство Шварца относительно скалярного произведения Остервальдера -
Шрадера, получаем оценку 3).
Единственное, что осталось доказать, это строгое неравенство в 2). Для
его доказательства воспользуемся корреляционными неравенствами из пункта
2d. Прежде всего включим в действие член 2 (К > 0), где X обозначает
сум-
<ху)
му по всем пространственно-подобным рёбрам. Если то ковариация убывает, и
поэтому, как следует из теоремы 2.10, 1), (WV(C))6 возрастает. Кроме
того, при этом из системы исключаются калибровочные поля, соответствующие
пространственно-подобным рёбрам, и "расцепляются" корреляции для
конфигураций в разные моменты времени. Мы еще больше увеличиваем
(Wq'(C))q, устремляя к +оо константу связи X действия Хиггса. При этом
"замораживаются" оставшиеся калибровочные поля, которые могут принимать
лишь значения 2л;X(целые числа). Теперь перед нами остается набор
одномерных спиновых моделей с целочисленными спинами, и для прямоугольной
петли Вильсона со сторонами 2L' и 2Т' в ящике со сторонами 2L и 2Т мы
получаем
2я2 ,
-у (пх+1~пх)2
{"*}
4
"IS7 <е+(r) +2ят)'
-S5F(0+2ят,!
2 L'
(4.5)
(на последнем шаге используется преобразование Фурье, т. е. формула
суммирования Пуассона (4.3)). Поэтому
2 2 е (9) < log Z <0+2Ят)г - log ? е-ЪГ т>, (4.6)
т т
откуда сразу вытекает строгое неравенство в 2). ?
Замечания. 1. В [47] Макк дает простое доказательство утверждения об
удержании дробных зарядов в двумерном
80
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
случае, которое проходит даже для неабелевых групп. Мы получим этот
результат в пункте d, используя другие соображения.
2. 0-состояния существуют также и для неабелевых групп. В этом случае
0 должно быть элементом группы, дуальной к центру (см., например, [66]).
3. Что такое 0-состояние в случае четырехмерных решёточных моделей
Янга - Миллса или Хиггса, трудно понять, так как не существует
естественного решёточного аналога
плотности топологического заряда F Л F. Если имеются фермионы, то можно
использовать углы 0, введенные в разделе 1 (см. раздел 5 и [95]).
4. Есть основания полагать, что сходные результаты верны и для
решёточной двумерной квантовой электродинамики (КЭД2).
Все эти результаты подытожены на диаграмме, приведённой на рис. 13.
Заштрихованная поверхность разделяет фазы и ограничена критической
кривой; КТ обозначает точку перехода Костерлица-Таулесса, которая к тому
же служит концевой точкой критической кривой.
