Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
0-вакуумы, фазовый переход и удержание дробных зарядов
Как явствует из самого заголовка, двумерные абелевы модели обладают
некоторыми более экстравагантными свойствами, которые, как полагают,
существенны и в четырехмерных неабелевых теориях. Одна из причин такой
аналогии имеет топологическую природу. Двумерные абелевы теории могут
учитывать нетривиальный топологический заряд, а именно первый класс
Черна2', а четырехмерные неабелавы теории могут учитывать нетривиальный
второй класс Черна (см. приложение). Однако двумерное "удержание дробных
зарядов" объясняется гораздо более простым механизмом, чем эффект с таким
же названием в четырехмерном случае (а именно неэкранированием линейного
кулонова потенциала).
Рассмотрим {7(1)-модель Хиггса. Так как эта модель абелева, то мы можем
использовать для калибровочного поля гауссовское действие (эта
возможность в разделе 1 не обсуждалась )3). Для взаимодействия поля
Хиггса и калибровочного поля используем действие типа действия Виллэна.
Таким образом, полное действие равно
где элементы калибровочной группы U(1) очевидным образом параметризованы
углами срху. Массовый член в (4.1) соответствует "инфракрасному
обрезанию". Впоследствии его можно без всякого ущерба отбросить. Случай
р2 = 0 формально соответствует действию Виллэна (1.8) для калибро-
п См. также работу Полякова [6*], где впервые был получен этот результат
на физическом уровне строгости. - Прим. ред.
2> =Чженя. - Прим. ред.
3) Калибровочные модели с гауссовским действием и неограниченными ц>ху
рассматривались в работах Зиновьева [7*]. - Прим. ред.
Sо - Sу. М. G. + 5н,
где
(4.2)
(4.1)
76
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
вочного поля, так как при интегрировании с периодическими функциями
гауссовское распределение можно свести к периодическому. Чтобы понять
характер действия SH (4.2), следует заметить, что качественно оно ведет
себя так же, как X ^(ху)cos Уху (и имеет такой же формальный непрерывный
предел). Это последнее выражение надо было бы считать стандартным U( 1) -
действием Хиггса для поля Хиггса по модулю 1 в унитарной калибровке (см.
(1.9) и замечания, сделанные в ходе доказательства теоремы 3.18). Те, кто
не любит работать с гауссовским действием, могут работать с обычным
решеточным действием. Для обсуждаемых далее эффектов существенно, что
действие Хиггса имеет более короткий период (т. е. больший заряд), чем
действие Янга - Миллса (действие (4.1) имеет "бесконечный период").
Определение 4.1. 0-состояния определяются как термодинамические пределы
состояний, отвечающих действию
50!=50 + X фдр
(где сумма берется, конечно, по всем плакетам с некоторой согласованно
выбранной ориентацией, а граничные условия предполагаются свободными, т.
е. интегрирование производится по всем переменным, соответствующим данной
конечной области А).
Замечание. Суть этого определения - в том, что состояния действительно
зависят от 0, причем, как мы увидим, эта зависимость периодична по 0.
Можно рассматривать 0-состояния как состояния с внешним электрическим
полем. Теорема Стокса позволяет интерпретировать 0-состояния как
результат действия "бесконечно большой петли Вильсона", намотанной вокруг
системы.
Для того чтобы понять роль 0-члена, лучше всего рассмотреть корреляцию
точечных "дефектов", получающихся при замене плакетных переменных фр и
фРг на % и -% соответственно. Обозначим соответствующее среднее значение
через (D%{P{)D-X(P2)>е, л-
Чтобы его оценить, воспользуемся преобразованием дуальности [55, 56]. А
именно заметим, что с точностью до несущественного множителя
х Л Л'л (4.3)
fisZ neZ
Формулу (4.3) можно применить к преобразованию Фурье от ""seH провести в
(Dx(Pi)D-x(P2)ye,A. интегрирование по всем
4. Некоторые дальнейшие результаты
77
углам ф. После некоторых выкладок получаем
U\(p,)?_x(p2)>0,a =
-^(пргпр)~~т Z (v+^r)2-i- Е п%
-Т1- > е р w , (4.4)
{пр}
где пХу = пР -пР>, Р и Я' - плакеты с общим ребром <хг/>, причем
предельный переход (х2-н"0 здесь уже сделан. (Если мы начинаем со
свободных граничных условий в исходной модели, то в дуальных переменных
следует принять нулевые условия Дирихле. Это просто означает, что пР = 0
вне Л.) Равенство (4.4) ясно вскрывает физическое содержание модели: она
представляет собой в действительности модель целочисленных спинов с
ферромагнитным взаимодействием ближайших соседей; 0 входит в
распределение одиночного спина периодически, оно аналогично магнитному
полю. Кроме того, мы видим, что для 0 = я максимум распределения
одиночного спина вырожден (пр = 0 или 1). При малых X стандартное
низкотемпературное разложение показывает сосуществование двух фаз с
экспоненциальным распадением корреляций, что очень похоже на
низкотемпературную область модели Изинга (см. [57, 58]). Сосуществование
фаз можно, конечно, усмотреть и с помощью стандартного рассуждения
Пайерлса Вероятно, имеется критическая точка по X (зависящая от gl), в
которой нет экспоненциального распадения корреляций. Это можно
