Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
оценку можно еще дальше улучшить, если воспользоваться тем, что размер
минимального полимера го > 1.
с. Результаты: следствия сходимости кластерного разложения
Сходимость кластерных разложений позволяет получать оценки сверху и снизу
для средних значений различных типов наблюдаемых, таких как петли
Вильсона или петли т'Хоофта, исходя из оценок для активности полимеров.
Мы находим различные области, в которых сходятся разные типы разложений,
при этом качественное поведение средних значений тоже может быть
различным. Это приводит к разнообразным фазовым диаграммам для наших
моделей, которые мы приводим в конце главы. Сначала сосредоточим внимание
на чистых теориях Янга - Миллса.
Теорема 3.14. В чистой решёточной теории Янга - Миллса существует
"высокотемпературная" фаза достаточно ве-
лико), обладающая следующими свойствами:
где С(-, ..., ¦) зависит от некоторых трансляционно-инвариантных норм
наблюдаемых А\, ..., Лга; t(A\, ..., Ап) - длина наименьшего дерева,
соединяющего Ль ..., Ля.
2) Петля Вильсона удовлетворяет закону площади, если она принадлежит
представлению группы О, нетривиальному на центре группы О. Более точно,
пусть С - замкнутая петля, [go] - класс сопряженности соответствующего
оператора голономии, %х - характер, нетривиальный на центре группы G, А
(С) - минимальное число плакетов, содержащихся в поверхности, имеющей С
своей границей. Тогда
b > log С + log 5.
| <Хт (gc)) м (С)) I < const • е-аИ(С) (а, > 0).
58
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
3) Петля т'Хоофта удовлетворяет закону периметра для d = 4 т. с.
| <До (С) > | ^ const • exp (-(Зсо | С \); в случае d - 3
| <До (Sxy) > | ^ const > 0.
4) Если представление т, фигурирующее в выражении для петли Вильсона,
и представление а, появляющееся в выражении для действия, таковы, что для
некоторого п е N представление г X о" X о-" содержит тривиальное
представление, то петля Вильсона удовлетворяет закону периметра:
\(WX{C)) |>const • е~МС| (d>3).
(Пример: G = SU (3), ст - фундаментальное представление, т - октетное
представление.)
Замечания. Свойство 2) было отмечено уже Вегнером [5] для G - 7,2 и
сформулировано в более общей форме Вильсоном [6] (без указания
ограничения, касающегося поведения представления на центре группы);
доказательство дано в [19].
Свойство 3) установлено т'Хоофтом [26]; для G = Z2 оно было получено еще
Вегнером в [5].
Свойство 4) установлено Глиммом и Джаффе [45].
Свойство 1) означает, конечно, существование массовой щели.
Свойство 2) означает, как объяснялось ранее, "удержание кварков".
Свойство 3) означает разлетание (неудержание) магнитных монополей для d -
4 и своего рода "конденсацию дефектов" - для d - 3.
Свойство 4) выражает тот факт, что, например, источники внешних глюонов
экранированы динамическими глюонами; считается, что этот цветовой
защитный механизм мешает физическим глюонам стать наблюдаемыми (см. Макк
[86]).
Поведение m ("массы"), а ("напряжения струны") и |3 в главном порядке
легко может быть вычислено; т, а ведут себя как О (log Re g-~2), р - как
0(Reg72).
Мюнстер [46] вычислил а с точностью до 7-го порядка по параметру 1 /g20.
Доказательство. Мы приведем доказательство для действия Вильсона;
обобщение на другие случаи получается непосредственно.
Свойство 1) следует из сделанного после равенства (3.33) замечания о том,
что в кластерное разложение (3.33) вносят
3. Методы разложения в ряд
59
вклад только такие мультииндексы X, для которых Х(у)>0 по крайней мере
для "дерева" полимеров, соединяющего носители наблюдаемых А\, Ап, и из
того наблюдения, что
К,...^<ехр{-Ч...,л"Е *(Y)lYl}.
где ЬА А = О (l/g'o), в сочетании с теоремой 3.13.
Свойство 2) аналогичным образом следует из приводимой ниже леммы.
Лемма 3.15. 1) zw (C)(y)=0, если 7 не содержит поверхности, граница
которой есть С.
2) | (о (Y) | < ехР (- ЬА (С))-
Доказательство. Утверждение 1) следует из того, что
S П рбр^(с)П^"°> <3-48)
Р <= Y (ху)
если y таково, как указано в формулировке леммы. Для доказательства
(3.48) заметим, что справедлива следующая простая формула (см. [47]):
[ dgF (g) = |j ^ S daF (&8)>
a a z
где О - произвольная группа и Z - ее центр. Поэтому (3.48) следует из
такого более сильного утверждения:
= (3.49)
Psv {ху}
если y имеет указанный выше вид.
Подставим в последнюю формулу разложение Фурье функции Ц Ро (&dpggp) = R
((r))' рассматриваемой как функция
Ре= Y
на центре группы Glvl. Мы получим линейную комбинацию членов вида
\ П ХтрКр) П (3.50)
Рау 6еС (ху)
которые отличны от нуля, только если каждому ребру отвечает тривиальное
представление.
Определив "границу" ду как множество рёбер, для которых
П Ъ П Ф 1. р р <ху) (Я Р
60
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
МЫ видим, что
п %хр
Ре y р
((r)вр)= П ( X
ixy) s ду I р р \(ху) s Р
W>)^
("теорема Стокса").
Тем самым (3.50) может быть отлично от нуля, только если ду = С, откуда и
следует утверждение 1).
Утверждение 2) вытекает из неравенства |zit(C)(y)|^ ^ ехр(-?> | y |) и из
