Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
или
к
(ЗЛ6)
ОО у СО k \ ^
Z== Е i(z IT Е ^.............................................Vk) JJ z
(Y/)l •
m- 0 \ft=l Yi Yb /=1 /
Это означает, что
ОО k
logZ = J]Jr J] g(vi, ..(ЗЛ7^
fe-' v,.ya /=i
Сравнивая коэффициенты этого ряда с коэффициентами ряда log Z - 2 zx<j>T
(X), заключаем, что
ФТ(Х) = xfg'C'Vb (3-18)
где (yi, Yп(х)) содержит ровно Х(у) экземпляров каж-
дого Y- Из (3.12) теперь следуют (3.7) и (3.8). ?
Теперь нам надо оценить выражение
a(G)^ Z (-1)/(С) (3.19)
с<=а
для произвольного графа (суммирование производится по связным подграфам с
тем же самым множеством V вершин, что и у G). Это составляет содержание
следующей теоремы:
Теорема 3.6. Имеет место неравенство \а(0)\^\!Г(С)\,
где W (G)- множество всех деревьев в G (т. е. всех деревьев, которые
имеют то самое множество V вершин, что и G, и содержатся в G).
Замечание. Доказательство этой теоремы в ее существенной части восходит к
Роте [43]; я узнал это из работы Малышева [42]. Однако в обеих указанных
работах доказательство запрятано в достаточно тяжелом формализме,
связанном
44 Ч. I. Решёточные калибровочные теории
с функциями Мёбиуса, который не будет нам нужен здесь. Еще одно
доказательство можно найти в работе Пенроуза ИЗ].
Доказательство. Упорядочим рёбра графа G произвольным образом и
зафиксируем этот порядок. Тем самым индуцируется упорядочение в множестве
петель (= элементарных 1-циклов) графа следующим образом. Петлю L можно
рассматривать как упорядоченную последовательность реб^р L - (lix, ...,
Uk), такую что i\ < i2 < ... < t*. Будем гово^ рить, что L L, если
последнее ребро в L имеет индекс Ik ^ h- При помощи лексикографического
упорядочения последовательностей справа налево можно ввести полный
порядок в множестве петель L\, ..., доопределение 3.7. Разомкнутой петлей
называется петля без старшего ребра.
Заметим, что петлю L можно однозначно восстановить по соответствующей
разомкнутой петле L', так как существует не более одного ребра между
каждыми двумя вершинами.
Упорядочим разомкнутые петли L[, в соответствии
с порядком, введенным для петель.
Идея доказательства состоит в том, чтобы, последовательно исключая
разомкнутые петли, свести сумму по связным графам (3.19) к сумме только
по деревьям.
Не теряя общности, можно предположить, что \V\^3. Пусть
Щ - множество связных подграфов графа G из / рёбер, не содержащих
L[.......L\ (т. е. не содержащих рёбер, входящих в L[.............L');
А - множество связных подграфов графа G из j рёбер,
не содержащих L[, ..., L'l_l, но содержащих L,;
Щ-в - множество связных подграфов графа G из j рёбер,
не содержащих L[.......L'{_u но содержащих Ь\, однако не
содержащих Li.
(Под связным подграфом графа G всегда понимается граф, имеющий то же
самое множество вершин, что и G.)
Ясно, чтополучается следующее разложение для Щ~1:
+ + в1- <3-2°) Мы утверждаем, что для i "= 0, 1, ...
a(G)-g(-1)'|Я}I-
(3.21)
S, Методы разложения в ряд
45
Для i = 0 это верно по определению. Предположим, что утверждение уже
доказано для i-1. Тогда, в силу (3.20),
а (О) " ? (- 1)' | R', | + | R'i' | + 2 (- 1)' (| *}• ¦* | - I).
)>2 /> 2
(3.22)
Но Щ- А- 0, так как не существует петель, состоящих из двух рёбер. Далее,
легко построить биекцию из /?'¦ в в а именно добавляя ребро (отметим,
что при этом не
может нарушиться ни одно из условий, касающихся ... ..., L\_x, ибо
добавленное ребро имеет больший индекс, чем любое ребро из L[, ...,
?•_[).
Тем самым (3.21) установлено.
Применим это равенство при / - сг; Щ состоит только из деревьев.
Следовательно, все его элементы имеют |7|-1 рёбер, и мы получаем
a(G) = (- 1)1 ^l-1 (3.23)
Теорема 3.6 доказана. ?
Пусть Са (у) - число рёбер графа G, инцидентных вершине у. Справедлива
Теорема 3.8.
|Г(С)|< П с°(Y).
уеК
Доказательство. Достаточно построить для каждого дерева Т отображение
множества вершин V в множество 3?{Т)={рёбер дерева Т}, такое что tyr(y)
инцидентно у и фг ф Фг' для Т ф Т'.
Наиболее простой способ сделать это состоит в том, чтобы сначала
определить некоторое инъективное отображение ф t\Z(T)+V.
Упорядочим рёбра дерева Т таким образом, чтобы lm+\ имело общую вершину
по крайней мере с одим из рёбер 1\, ..., /т, а другая вершина ребра lm+i
не содержалась среди концевых точек рёбер /ь ..., lm. Отображение фг
определяется индуктивно: cp7-(/i) - любой конец ребра 1\, (рт(1т+\)
совпадает с тем концом ребра 1т+ь который является общим с другим ребром
из {1\, ..., 1т}, если он еще не встречался среди вершин cpr(/i), фг(/т)
и совпадает с другим концом в противном случае.
46 Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Теперь мы можем положить
!Фг 1 (y)> если это значение определено;
любому ребру дерева Т, инцидентному с у,
в противном случае.
Ясно, что образ г|зг(У) состоит из всех рёбер дерева Г; следовательно,
различные деревья порождают различные отображения -ij:что п доказывает
теорему. Таким образом, мы получили следующую оценку для а(Х) (см.
(3.8)):
Следствие 3.9. Пусть
