Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
возникновению массы даже при малых
Заметим, что в Sh различные связи не взаимодействуют; поэтому мы можем
включить e"SH в свободное среднее и произвести кластерное разложение
только по отношению к действию Янга - Миллса. Введем вероятностную меру
йа(ё) = -сЩе dg (3.69)
и положим
(A\A-\Al[da(gxy). (3.60)
<ху)
3. Методы разложения в ряд
67
Тогда среднее
(Л)Л = ^-(Ае-^"\Л
может быть разложено, как и прежде (см. (3.32)). Полимерами будут
теперь как раз связные множества плакетов, а
активности будут равны
2л(у) = (Л П Рая) • (3-61)
\ реу /О, Л
Согласно теореме 3.13, условие сходимости состоит в том, что (А П РаЛ
(3.62)
' Ре у /О, Л
где b достаточно велико. В силу неравенства Гёльдера
] А П Pap]Id(r(0 <MIL($|Pap|r П do W)'Yl/r-
Ре у <*?/> V ixy) е Р /
(3.63)
Здесь число г показывает, сколько различных плакетов может содержать одну
связь, и решающую роль играет тот факт, что это число фиксировано и не
растет с ростом |y|.
Но, как нетрудно видеть,
$|Ра,Г П da(?*y)
<ху) <= Р
ведет себя как 0(l/ggr) при больших g% и малых X и как 0((ёо^)_Г) ПРИ
больших к, что и доказывает утверждение
о сходимости, сформулированное в теореме.
Для переменных беспорядка мы проводим то же рассуждение, что и в
доказательстве теоремы 3.14, но активности 2(о. s(y) определяются теперь
так:
X
( -Ц- г (sop) \ 2.,s(V)-IIS*to") П [е-О
1ху> Ре у
Рф*3
X П
P^Yfl*S
Поскольку da (g) Ф da (u>g) для Х>0, то уже неверно, что (у) ф 0 (у) лишь
для полимеров у, пересекающих кограницу множества *5, Таким образом,
будут существовать
68
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
два сорта полимеров, дающих главный вклад: во-первых, как и для чистых
теорий Янга - Миллса, элементарные кубы кограницы 6*S множества *S; во-
вторых, отдельные плакеты Ре= *S.
Очевидно, полимеры второго сорта дают отрицательный вклад в кластерное
разложение log <Dco(S)>, пропорциональный площади |S|, так как
Чтобы это увидеть, используем разложение Фурье -г? у- (sap)
es* - 1 = 2Х(-^) *"(&*)•
где ах (1/go) ^ 0. и разложение
^/(л'"нИ#",-,) = 2тгл,мад.
X
где Лт(Я)^г 0. Имеем
z(r). №} = Е (coj аг (-V) ^ X
Tl, %\
4
хПТг лг.а) ux.(gt) dg{, i=i
что равно
2>" ^{-j)TtAv
где йт(1/?ц)^0. Ясно, что последнее выражение имеет максимум при а - D.
Итак, главные члены дают закон площади; в том, что остальные члены не
нарушают этого свойства, можно убедиться при помощи рассуждений,
аналогичных использованным при доказательстве свойства 3) в теореме 3.14.
?
Существует и "низкотемпературный" режим, который может быть
проанализирован:
Теорема 3.19. В модели Хиггса с конечной калибровочной группой G
(необязательно с полным нарушением симметрии) "низкотемпературное"
кластерное разложение сходится в области {Л, gjj: К и gl малы].
В этой области имеют место:
1) экспоненциальная кластерность;
8. Методы разложения в ряд
69
2) закон периметра для петель Вильсона;
3) закон площади для петель т'Хоофта в случае d - 4; экспоненциальная
кластерность дефектов в случае d = 3.
Замечание. Свойство 1) было доказано для d = 3, Q =* Z2 Марра и Миракль-
Солем [41].
Доказательство теперь уже почти стандартно для нас. Полимеры состоят из
связных дефектных сетей двойственной решетки, к которым добавлены
множества ребер исходной решетки, обвивающие их, как описано ранее. ?
Иногда имеется третья область сходимости:
Квазитеорема 3.20. В модели Хиггса с не обязательно дискретной
калибровочной группой, обладающей дискретной подгруппой Н, содержащейся в
центре, которой отвечает ненарушенная симметрия, существует сходящееся
"низкотемпературное" разложение в области [Я, g%: Xg% достаточно велико,
Я велико}.
В этой области имеют место:
1) экспоненциальная кластерность;
2) закон периметра для петель Вильсона;
3) закон площади для петель т'Хоофта в случае d = 4; экспоненциальная
кластерность дефектов при d = 3.
Теорема 3.20'. В предположениях квазитеоремы 3.20 существует сходящееся
"высокотемпературное" разложение в области {Я, ?д: Я и g2Q малы}, такое
что при Я > 0 имеют место:
1) экспоненциальная кластерность;
2) закон периметра для петель Вильсона, тривиально представляющих
подгруппу Н, и закон площади для всех других петель ("удержание дробных
зарядов");
3) в случае d = 4 - закон периметра для петель т'Хоофта,
соответствующих со е Я, и закон площади для остальных петель; аналогичное
поведение дефектов при d - 3.
Замечания. Это означает, что при "частичном нарушении симметрии" область,
указанная в теореме 3.18, разбивается на область удержания кварков
(теорема 3.20') и область Хиггса (квазитеорема 3.20). Этот факт считается
более или менее признанным среди специалистов на основании некоторых
численных результатов (см. [54]), но полное доказательство квазитеоремы
3.20 пока еще отсутствует. Ниже мы опишем возможный путь доказательства.
Доказательство теоремы 3.20/. По существу это комбинация доказательств
теоремы 3.14 и 3.18. ?
70
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
Набросок доказательства квазитеоремы 3.20. Снова воспользуемся "унитарной
