Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
C*(Y) = - ZW)g(Y, У')-1 (3.24)
Y'
(это - число рёбер, инцидентных вершине у в графе G(X), соответствующем
X). Тогда
la (*)I<I[C*(y)x(v)- (3.25)
Y
Доказательство. Очевидно. ?
Замечания 1. Для того чтобы проверить, насколько точна оценка, указанная
в следствии 3.9, можно рассмотреть систему, содержащую ровно один полимер
у с активностью г. В этом случае статистическая сумма Z = 1 + z и
оо
logz = ? (- 1 )п-'-т"Етга(л
п - 1
откуда легко получить, что
а(Х) = (п(Х)- 1)!(-
Соответствующие графы - это так называемые полные графы (все возможные
ребра проводятся), и следствие 3.9 дает оценку
|а(Х)|<(п(Х)-1)"№,
которая является чересчур завышенной - примерно на множитель еп(хК
2. Следствие 3.9 - наилучшая оценка, которую можно получить с помощью
чисто комбинаторных методов. В следующем пункте мы рассмотрим полимеры,
"живущие" на конечномерных решетках; в этой ситуации число полимеров,
которые могут быть совместимы с данным полимером, ограничено. Это
приводит к более точным оценкам, даваемым теоремами 3.12 и 3.18 ниже, что
позволит нам затем доказать сходимость кластерных разложений равномерно
по объему.
S. Методы разложения в ряд
47
Ь. Приложение о писанного выше формализма к решёточным калибровочным
теориям. Сходимость
В этом пункте мы покажем, как, используя только что развитый общий
формализм, вычислять средние значения в случае решеточных калибровочных
теорий. Мы уже объяснили главную идею в начале главы. Теперь опишем эту
процедуру более подробно.
Сначала рассмотрим снова "высокотемпературное" разложение. Полезный прием
состоит в том, чтобы выразить средние значения через "термодинамические
функции", например:
<Л)А =^1о§((1 +аЛ)бАл|а=0, (3.26)
о о
где S = 5H + 5f + Sy. м., если все поля присутствуют; В противном случае
мы просто опускаем соответствующие слагаемые. Аналогичным образом мы
можем выразить семиинварианты, например:
<Л; В)\ га (АВ)\ - (Л)Л {В)\
<з2
да зр
1оё((1+аЛ + рВ)е-*°)о,л . (3.27)
Таким образом, достаточно изучить "модифицированные термодинамические
функции" вроде
Z\ (Л) = (ле~^)о, л- (3.28)
о
Как было объяснено выше, e~s имеет вид Ц (1 + р6),
Ъ г
где -множество "связей" (рёбер и плакетов, на которых поля
взаимодействуют).
Разлагая в ряд произведение
П (1 + Рб) "= S ГГ Р&
Ъ е йд 3i ез b s= &
и разбивая каждое произведение на "связные" множители, соответствующие
полимерам у (зависящим, конечно, от А), получаем
Za (Л) = ? п (Л^> П Рь) П (l+8(yt, У,)),
Г с Гд \ V s Г ' b a Y ' О, Л (< /
V/. V/ST
(3.29)
где
( 1, если у связано с носителем п (у) = < функции Л,
I 0 в противном случав.
48
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Конечно, в данном множестве полимеров Г будет существовать самое большее
один такой полимер у, совместимый с А, если считать любые два полимера у,
у' несовместимыми в случае, когда каждый из них имеет какую-нибудь
переменную, общую с А.
Если положить
?*(y) - (Лп{у) П Рь)
\ h(=V /
о, л
(3.30)
то (3.29) примет общий вид (3.2).
Используя формализм предыдущего раздела, мы можем написать
,ха (X)
logZK (/4)*=?z
А XI
(3.31)
и в силу (3.26)
Е-
уХ
а(Х)
или
М>Л /j da ^ la~0 XI
м>л=Е'"("=Е'г!
х а (X) А XI
(3.32)
где штрйх означает, что суммирование производится по членам, линейным по
А. Аналогично
а(Х) :А" X!
(3.33)
где сумма берется по членам, линейным по А\, ..., Ап. Разложения (3.32) и
(3.33) представляют собой высокотемпературные разложения для обычных
наблюдаемых.
А / / /
/ / V / V
Рис. 5. Множество *5 для d = 3.
Существуют важные наблюдаемые другого сорта. Это так называемые
переменные беспорядка, которые в случае калибровочных теорий известны как
монополи для d = 3 и как петли т'Хоофта для d = 4 (оба типа введены
т'Хоофтом [26]; см. пункт 2.Ь). Один способ введения этих переменных
основан на преобразовании дуальности; а именно, они ог/ре деляются как
переменные, дуальные к переменным порядка (спину для d - 3, петле
Вильсона для d = 4). В пункте 2.Ь мы привели прямое определение, которое
сейчас напомним.
Выберем множество плакетов *S, двойственное к некоторой кривой,
соединяющей точки х, у, для d - 3 (рис. 5) или
S. Методы разложения в ряд
49
к некоторому "листу", ограниченному замкнутой петлей, для d = 4 (для d -
2 множество *S может быть любым множеством плакетов).
Видоизменим блоки для действия Янга - Миллса, соответствующие этим
плакетам, заменив
X(ffap) на %((r)?ар) = х((r))х(2вр)/х(1).
где со принадлежит центру группы G.
Соответственно определим модифицированную статистическую сумму Za (со,
5). Затем введем "среднее" переменной беспорядка ?)W(S), отвечающей паре
(со, S), по формуле
2. (со, S)
(Da(S))^-*±-------. (3.34)
л
Для log<D(B(5))A кластерное разложение можно выписать непосредственно,
если заметить, что единственная разница между разложениями для Z\ (со, 5)
и Za (И, 0) заключается в значениях активностей некоторых полимеров.
Чтобы указать эго различие явно, будем далее писать ги, s(y). Мы получаем
(см. [38])
