Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
так как любая другая абелева группа получается как прямое произведение
этих групп.
a) ZПусть представление Uн определяется формулой
( , *l\ ini*
U н U 11 ) =е п
При п = 2т это представление вещественно; в этом случае условие (R)
тривиально. При пф2т, как легко проверить, выполнено (2.13).
b) U(l): Достаточно рассмотреть комплексные представления, а для них
(2.13), очевидно, выполнено.
2) Фундаментальное представление группы SU(N) комплексное. Пусть
N М
Vav ..., aN = ^ dhJ^{UH{h)f)ai Д(ун №)Ф)ьг
ь\...ЬМ 1-1 1 = 1
34
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
Эти числа определяют отображение V симметрического подпространства
тензорного произведения (??) Тц в симметриче-
/=1
N
ское подпространство произведения На каждом из
;=1
этих пространств действуют непроводимые представления Um или U%
соответственно, и
и% (g)V = VUsM{g).
Отсюда сразу следует, что V = 0, если М ф N (лемма Шура).
g *
Но если M = N, то, очевидно, V коммутирует с Uк, и, следовательно, V
кратно тождественному оператору. Скалярный множитель можно определить
путем взятия следа. П
Доказательство того, что фундаментальное представление группы 0(N)
удовлетворяет условию (R) в форме (2.12), мы предоставим читателю. Здесь
нужно использовать разложение симметризованного тензорного произведения
на неприводимые представления и лемму Шура.
Доказательство теоремы 2.6. Имеем
Za (&*,})=$*-*Н Д (2.14)
где dp (| ф |) = e~v <1 ф \Ыф.
Разлагая экспоненту в ряд, получаем
({gxy}) =
= 1П ^1 J (Ф (х), Uи (gxy) ф (у))аху Д dp (| ф (х) |). (2.15)
{пху} (ху) X
Нам потребуется
Лемма 2.9. Если t/H удовлетворяет условию (R), то Ш (Ф (х), Uя {gxy) ф
(у))п*и Д dp (| ф (х) |) =
<ху> X
П *н(р П (2Л6)
?• Cm# \ Ц()еС /
где с^.^0; Р - символ, означающий, что произведение берется в порядке,
определяемом траекторией, S' - множество замкнутых контуров {С<, . . .,
С\#{} в Л; %н- характер представления Uh-
2. Основные свойства
35
Следствие 2.9'. Если группа О абелева, то Z({gxy})- положи-тельно-
определенная функция от {g',q/}-
Заметим, что из леммы 2.9 и равенства (2.16) немедленно следует
диамагнитное неравенство (2.9).
Доказательство леммы 2.9. Рассмотрим следующее выражение, фигурирующее в
качестве сомножителя в левой части равенства (2.16):
А' М
5 п Uu (gxix) ^ П Uh (gxyi) $ dp ^ ^ ^
i=l /=1
В силу инвариантности меры dp это выражение можно переписать так:
N
\dh\ П (*(*'), tfH(gr.v)?/H(/i)^M) i-1
м
X П (U" W $ М Uн (g*yj) * Ш) dP (I ф w I)- (2-17) /=i
Поскольку Uн удовлетворяет условию (R), то верно либо (2.12), либо
(2.13). В первом случае выражение (2.17) может быть записано в виде
N + M
const • Y, IT Uh $ (хР(п)) 5 d9 (t) tN+M
ПО СП.:рт- i~l
??:Ш) (2.13)
(если N -f- М четно; в противоположном же случае получается
0); мы положили здесь
xN+j = /// (/= 1, ..., М).
Во втором случае для N0~оо выражение (2.17) принимает вид
Sa'm Y Ж Uh (SxiXgXl,nU)) Ф (Ума)) J dp{t)t2N. (2.19)
я^5дг
Подставляя (2.18) или (2.19) в левую часть равенства (2.16), мы получаем
выражение такого типа, какой требуется в лемме (см. (2.16)). Коэффициенты
с# можно было бы явно вычислить, но в любом случае ясно, что они
неотрицатель и. При А7о <' оо необходима очевидная модификация. ?
Замечание. Неясно, существует ли какое-либо общее утверждение типа
теоремы 2.6, справедливое для фермион-
36
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
ных полей. В частности, аналог леммы 2.9, по-видимому, неверен. На самом
деле существуют простые замкнутые контуры, дающие отрицательный вклад
[32]. Проблема "диамагнитного" неравенства для спиноров еще сложнее; дело
зависит от того, преобладает ли "в среднем" парамагнитный эффект спина
над диамагнитным эффектом, который также имеет место. Заметим в этой
связи, что, как было показано в [33], нерелятивистская "парамагнитная
гипотеза" неверна для полей типа полей Ахаронова - Бома [34].
d. Корреляционные неравенства
Достаточно общие корреляционные неравенства найдены лишь для абелевых
калибровочных теорий с чисто бозонным полем.
Для действия Вильсона или Виллэна они довольно просто вытекают из общих
результатов Жинибра (см. [35, 36]). Для калибровочного поля с гауссовским
действием аналогичные неравенства были доказаны в [23]. Общий вид этих
неравенств таков:
<ЛВ>а-<Л>л<В>л= <Л;5)л^0,
где А, В принадлежат мультипликативному конусу, порожденному функциями
{\ф{х) | |xe=A}
и
/cos ( ^ tnxQx -I- fхуАХу\\,
l s x (хф /)
где 6* = arg^(x), Аху = arg gxy, mx - целое число, fxy - целое число в
случае действия Вильсона или Виллэна и вещественное число в случае
гауссова действия.
Приведем ряд следствий из этих и некоторых близких неравенств, имеющих
важное значение для непрерывной хиггс2-модели, которая будет обсуждаться
во второй части книги.
Теорема 2.10. Пусть <->с, л - среднее для абелевой модели Хиггса, где
мера для калибровочного поля Л гауссова с ковариацией С.
Тогда
1) (el * I2(g>eM(f')c убывает как функция от С,
2) (e-UlJ(g)e/i(f))c возрастает как функция от С,
