Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
3) (е\Ф l!(е)е{А(f>)c, л возрастает как функция от А,
4) убывает как функция от А,
где | ф |2 (g) = Z I ф (х) |2 g (х), g > 0, Аху = arg gxy.
S. Методы, разложения в ряд
87
По поводу деталей доказательства, элементарного, но длинного,
построенного по образцу доказательства Жинибра [35], мы отсылаем к [23].
Заметим, что, используя эти корреляционные неравенства, можно
устанавливать некоторые свойства монотонности потенциала между
"бесконечно тяжелыми кварками" с противоположными зарядами [31]. Но так
как это относится к абелевой теории, то это еще далеко не всё, что
требуется для решения проблемы удержания кварков.
В заключение раздела сформулируем две задачи, заслуживающие дальнейшего
исследования (при желании их можно считать упражнениями):
1) Дать более общее доказательство диамагнитного неравенства, годное
как для хиггсовой материи в произвольном представлении, так и для
фермионов.
2) Найти достаточно сильные корреляционные неравенства для неабелевых
групп.
3. МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ в РЯД
Метод высоко- и низкотемпературных кластерных разложений - один из
наиболее известных методов статистической механики. Сознавая, что "еду в
Тулу со своим самоваром" 1}, я тем не менее дам общее и замкнутое
изложение этого метода с некоторыми собственными вариациями и затем
сосредоточусь на приложениях к решеточным калибровочным теориям.
Как показали Грубер и Кунц [37], некий общий класс решёточных систем
может быть отображен в класс полимерных систем определенного типа,
которые были ими детально изучены. Галлавотти и др. [38] отметили, что
это наблюдение полезно при изучении решёточных калибровочных теорий (их
короткая статья, однако, очень схематична в отношении комбинаторных
аспектов). То, как отображаются решёточные системы в полимерные системы,
можно понять из чрезвычайно ясной статьи Галлавотти, Мартин-Лёфа и
Миракль-Соля по низкотемпературным разложениям для модели Изинга [39]. Их
подходу мы и будем здесь следовать. Наш метод использования комбинаторики
во многом навеян работой Малышева [42]2).
Идея состоит в следующем. В "высокотемпературной области", т. е. в
области параметров, где взаимодействие между различными узлами или
различными линиями соответ-
>> В оригинале - "везу уголь в Ньюкасл". - Прим. ред. *> См. также [4*].
- Прим. ред.
38
Ч. 1. Решёточные калибровочные теории
ственно является малым, разумно написать ~V * (g3P)
е е° - 1 + рqp,
$ (х) ?/ГЧ> (") б = 1 + Аед>,
и разложить среднее значение наблюдаемой А в ряд по малым параметрам рвр,
%(Хуь {-Цжл- (Как мы увидим, для действия Хиггса возможна модификация,
дающая значительно более широкую область сходимости; это так называемый
скрытый механизм Хиггса.) При этом мы получим средние по свободной мере
вида
А П РдР П h(X0 И №<ху)\ > (3-1)
Реур (ху)ёун <,ху)<?ур /О, Л
где уР - множество плакетов, yh - множество связей Хиггса, Yf - множество
фермионных линий. Мы называем уР U Yh U Yf множеством связей. Заметим,
что среднее <АВ)0: А разлагается в произведение <Л>о,а<5>о, \, если А и В
зависят от непе-ресекающихся множеств переменных. Множество у связей,
которое не может быть разбито на подмножества, соответствующие
непересекающимся множествам полевых переменных, будем называть полимером
(геометрически это означает, грубо говоря, что у должно быть связно; при
этом два плакета, имеющие лишь общую вершину, не считаются связными).
Конечно, следует принимать в расчет переменные, входящие в А, так что
полимер у, указанный в (3.1), может быть связным именно через "носитель"
наблюдаемой А. Назовем
%л(у) = М П Рзр П W П ЦедЛ
\ Р Е=у (Xy)Sy 1,Ху)<5у /
активностью полимера у. Таким образом мы получаем разложение в ряд по
активностям полимеров для
(/1 ехр ,- 5ц - Sf - 5у.м.))о, л и для Za =
= (exp (- S;i - - 5у.м.))о, a.
Стратегия состоит в том, чтобы
1) используя технику формальных степенных рядов, впервые привлеченную
для данного круга вопросов Рюэлем [40], разложить дробь, выражающую
полное среднее
<Л)л = ~(ле-5°н-5р-^м')о,А.
А
S. Методы разложения в ряд
39
2) показать, что это разложение имеет конечную область сходимости, не
зависящую от объема Л.
Тогда переход к термодинамическому пределу может быть выполнен легко
путем перехода к пределу в каждом члене разложения. При этом получаются
единственный термодинамический предел (не зависящий от граничных
условий), а также экспоненциальная кластерность, "удержание кварков" и
другие желаемые результаты.
Та же самая техника может быть применена подобным же образом к
"низкотемпературной" области, в которой обычно gjj, к и К малы. Но в этом
случае полимеры соответствуют дефектам, т. е. множествам, для которых
gdP=^H (так называемым вихрям), и множествам линий Хиггса и фермионных
линий, связанных с ними подходящим образом. Ясно, что этот метод может
работать только для дискретной группы G; для G = Z2 это было впервые
проделано Марра и Миракль-Солем [41]. Слово "дефект" выбрано не случайно;
в действительности решёточные калибровочные теории с дискретной
