Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
калибровке" (Это значит, что все калибровочные поля во "временном"
направлении равны Ц.) Среднее <-)t. g. во временной калибровке
определяется аналогично: мы заменяем в действии калибровочные поля во
временном направлении на 1 Сразу видно, что
Ь. Некоторые наблюдаемые и их смысл
(FQF)t е.>0 для Fei
так что мы, как и раньше, можем положить Ж = s&xjj?.
1} В оригинале temporal gauge. Отсюда индекс t. g. ниже, --Прим. ред.
2. Основные свойства
Наконец, заметим, что если F - калнбровочпо-шшарнант-пый элемент из a F -
соответствующий объект во временной калибровке, то <F> = g.- Это дает
естественное
вложение Ж в <Ж
Рассмотрим теперь состояние ф s Ж, и пусть V(hx) - унитарный оператор в
Ж, индуцированный не зависящим от времени калибровочным преобразованием
hx (где х - фиксированная произвольная точка "пространственной" решетки
Zd~l). Запишем фурье-разложение V(hx)ty на неприводимые компоненты:
у (а*) ф (А*)"к
X
где
(A,) *,(*;')
К (К) = 5 ds,v (&) х, (е;%) <*,•
Будем говорить, что г|зт имеет заряд х в точке х.
Удивительным фактом является то, что получаемое этим путем разложение
пространства Ж в бесконечное число супер-отборных секторов
оо
М = (r) (r) Жч.....т
п= 0 х,...х" х' хп
(сумма лишь по нетривиальным т) инвариантно относительно действия
трансфер-матрицы (упражнение!).
По этой причине говорят о бесконечно сильных внешних зарядах. Неясно,
имеются ли соответствующие ковариантные сектора в непрерывной теории.
Особенно простой и интересный тип состояний представляют собой "струны".
Возьмем путь Sxy, начинающийся в точке х и кончающийся в точке у, х, у <=
Л+. Пусть gs =
= Р П ёх'у' (символ Р указывает, что произведение
(x'y')sSxy
берется в порядке, определяемом путем).
Оператору Ux(gsxy)ab соответствует состояние (5^),
имеющее заряд % в точке х и заряда в точке у.
Небольшое вычисление показывает, что
"v 7',4,v")"<r.(c". ЛИЛА-'.
где Wx(CXyt t)-наблюдаемая, называемая петлей Вильсона',
Wx(cxy, t) = Хт^Р IX 8х'у\
26
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Здесь CXy,t - замкнутый контур, получающийся из Sy" так. Сначала нужно
пройти Sxy, затем пойти по прямой вверх по времени, затем пройти
сдвинутый зеркальный образ S.r" в обратном направлении и затем - по
прямой вниз по времени к начальной точке (рис. 2).
Начав с прямолинейной "горизонтальной" струны Sxy, мы получим
прямоугольную петлю Вильсона.
Если мы определим гамильтониан Н равенством Т = = e~mQ, где Q - проектор
на дополнение к нуль-пространству оператора Т, то можно следующим образом
выразить
"потенциал" взаимодействия между статическими зарядами.
Пусть
\чу isxy) =inf sPec н г (s^)
- наименьшая энергия в (5 ).
Т огда
V^ASxy) = - lim -i-logWx(Cxy,t)
u t~>oo ^
(предполагается, что Sxy- кратчайший путь из x в у).
Если петля Вильсона подчиняется закону площади, т. е. если
<W\(C)> ^ const-ехр(-ахА(С)), аг > О,
где А (С) - число плакетов в минимальной поверхности с краем С, то мы
получаем V% % (Sxv) ^ ах dist (х, у), т. е. "потен-
х у &
циал" растет с расстоянием линейно. Это дает некоторую мотивировку
вильсонову критерию удержания.
Теперь мы хотим определить оператор беспорядка, аналогичный оператору
беспорядка, введенному в несколько иной ситуации т'Хоофтом. Пусть Т -
некоторое множество ориентированных рёбер в Л+, а со- элемент из центра Z
группы G.
Определим линейный оператор ВШ(Т) на ^Л+ как оператор, который переводит
функцию / ({gxy}) в функцию/({и^(7)^}), где (?>хУ(Т) = (о, если Т
содержит ребро <хг/> с правильной ориентацией, и аху{Т) = to"1, если Т
содержит ребро <ух> с правильной ориентацией.
Локально, например для одного-единственного ребра, это равнозначно
калибровочному преобразованию. Однако, вообще говоря, появятся
испорченные плакеты. Поэтому эту операцию иногда называют "сингулярным
калибровочным преоб-
О
разованием". Обозначим множество плакетов в А+, где Ва(Т) действует
нетривиально, через Т' (это - подмножество "ко-
Рис. 2. Петля Сху, t-
2. Основные свойства
27
границы" 6Т множества Т, см. [48]). Далее, положим
где <йдр = ап+{дР ttT)~n-{dp пТ), а п+(дР (]Т) (соотв. п_(дР f| Т)) есть
количество рёбер из 7, которые содержатся в дР с правильной (соотв.
неправильной) ориентацией. В действительности Вф(Т') зависит только от Т.
Это отображение опреде-
лено таким образом, что сохраняет физическое скалярное произведение и
потому порождает унитарный оператор в физическом гильбертовом
пространстве Ж, который мы будем обозначать тем же символом В,й(Т'). (В
этом можно убедиться, используя свободное среднее <->о.)
Вычисление показывает, что
В№ЛГ)ВаЛТ') = В^г(Т'),
т. е. эти операторы образуют унитарное представление центра Z.
В случае Л = 3 обычно Т будет выбираться как множество всех плакетов,
дуальных (= ортогональных) к некоторой струне SXy, идущей из точки х в
точку у, причём обе эти точки расположены в дуальной решётке и в
плоскости t = 0. Пример показан на рис. 3. Отмеченные на рисунке рёбра
образуют Т, а плакеты - Т'. Чтобы подчеркнуть дуальную связь между Т' и
