Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
тому, предполагается группа G абелевой или нет и имеются ли фермионы (см.
[23, 31]).
Для доказательства неравенства (2.9) наиболее "естественно" было бы
показать, что левая его часть есть положительно-определенная функция от
{gxy} или хотя бы является полиномом с положительными коэффициентами от
вильсоно-вых петель. К сожалению, если имеются фермионы, то это, по-
видимому, неверно. Таким образом, в самом общем случае мы имеем лишь
довольно ограниченный результат.
Теорема 2.3. Пусть А - гиперкуб с периодическими (антипе-рподическими)
условиями. Тогда справедлива "диамагнитная" оценка (2.9).
Доказательство. Пусть
С = sup | ZA ({?*Л) I-
{8ху}
Так как пространство {gxy} компактно и Z\ - непрерывная функция на нем,
то мы можем считать, что
Пусть я-'Пара гиперплоскостей, зеркально-симметричных относительно
гиперплоскости t = 0 и лежащих посредине между гиперплоскостями решётки.
Как уже обсуждалось при доказательстве теоремы 2.1, мы можем выбрать
калибровку таким образом, чтобы gxy = 11 на рёбрах, пересекающих я. Это
приводит к равенству
(2.8)
I 2л ({1})-
(2.9)
С = \Zx({g ,,})!•
(2.10)
где Sc имеет вид
2. Основные свойства
81
(Здесь 0м определяется так же, как 0, только оно не действует на
калибровочное поле.)
Очевидно, что среднее (• )о, л, {gx<J} удовлетворяет условию
положительности ОШ относительно 0,м, и мы можем воспользоваться следующей
леммой.
Лемма 2.4. Если <•> удовлетворяет условию положительности ОШ и F, Gi
<=s?a+ (для всех /), то
К^бмГе2 Gi8M° <)| < (FQAIF{p'Q^F'e^ Доказательство. Левая часть
неравенства равна
I .оу>
...1п
п
х ¦ ¦ • o;t>M (G^... oy)
1/2
"'/
1/2
xr z, w, • ¦ • "y>y.
^ n ^
что равно правой части. ?
Следствие 2.5, Пусть = 11 на рёбрах <хг/>, пересекающих я. Тогда
12л ({?*"}) I < (e-s+0^-s+eZ а^°)Х'2 (e-s-0,Me-s-eS
= ({8%Р8Ь)Г ^ ({(" ё^)Г-
Здесь g± - это часть конфигурации gxy, принадлежащая Л±; g^yQgxy -
калибровочное поле, равное полю g+ в Л+ и его отражению - в Л_.
Доказательство. Это непосредственно следует из леммы. ?
Заметим теперь, что g?yQg+ тривиально (калибровочно эквивалентно 1) на
всех плакетах, пересекающих п.
32
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Используя (2.10), мы получим
I 2а ({?,;;}) I < 2а (2.11)
о
Допустим теперь, что gxu уже тривиально на N плакетах. Если мы сумеем
выбрать пару гиперплоскостей я таким образом, чтобы А+ содержало более
чем N/2 из этих тривиальных плакетов, то gtyQgxy будет тривиально по
крайней мере на N -f- 1 плакетах. Если же это невозможно, то, как
нетрудно понять, применение неравенства (2.11) сделает распределение
тривиальных плакетов несимметричным, и, таким образом, на следующем шаге
N может быть увеличено.
Повторяя это рассуждение конечное число раз, мы видим,
что ZA ({gA-</}) можно оценить сверху через ZA ({gxy}), гДе {gxy\ имеет
только тривиальные плакеты. Так как наша периодическая решётка содержит
нетривиальные (нестягиваемые) контуры, отсюда еще не следует, что gX!J
калибровочно эквивалентно единице. Однако, производя отражение
относительно всех d координатных гиперплоскостей и используя неравенство
(2.11), мы получим полностью тривиальное калибровочное поле. Тем самым
доказательство теоремы 2.3 завершено. ?
Если мы имеем дело с чисто бозонной материей и если представление Uh
удовлетворяет определенному условию (R) (см. ниже), то верен следующий
более общий результат:
Теорема 2.6. Пусть А - произвольная конечная решёка (не обязательно часть
регулярной решётки). Если Uh удовлетворяет условию (R), то справедливо
неравенство (2.9).
Замечание. Под конечной решёткой мы понимаем конечный граф, т. е.
семейство точек (вершин) и рёбер (отрезков) с некоторым отношением
инцидентности между ними.
Теперь сформулируем условие (R).
Определение 2.7. Пусть No - наименьшее целое число (если
(r) Nq
таковое существует), для которогоt/н (-'Vo' кратное симметри-зованное
тензорное произведение) есть тривиальное представление; если такого числа
не существует, то положим N0 = оо. Будем говорить, что UH удовлетворяет
условию (R), тогда и только тогда, когда либо Uh- вещественное
представление
2 Основные свойства 83
и для любого ^>€= Uu, такого что [|^>[|=*1, n J0, если N нечетно,
\ dh Д(^/н (Л) Ф)а1 = {const • 2 П>Лч*)> если ЛГ четно,
1^1 | поспаривт-
{ ниям {i,p(i)}
(2.12)
либо UH - комплексное представление и для любого fEt/н, такого что il^il=
1, и для N, М С N0
N м
5^П(С/н (h) ф)а1Ц (ин(к) ф)ь,
ы 1 /=1
N
Yj ИГ П ^aibn{i)' (2Л3^
по ггереста- i ""1
ноакам Я <=S/v
(Термин "условие (R)" выбран потому, что это условие
позволяет продолжать "проводить" (route) представления и
вильсоновы петли через вершины.) Приведем два класса примеров, где
выполнено условие (R):
Лемма 2.8. 1) Если группа G абелева, то любое неприводимое представление
удовлетворяет условию (R).
2) Если G = SU(N), то фундаментальное представление удовлетворяет
условию (R).
Доказательство. 1) Мы можем ограничиться рассмотрением групп Zn и ?7(1),
