Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зайлер Э. -> "Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой" -> 9

Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.

Зайлер Э. Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой — М.: Мир, 1985. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochnieteoriisvyazi1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 76 >> Следующая

принадлежит этому конусу. Действие
где - S+ е ~5+ есть совокупность всех членов, "жи-
вущих" только в Л+; -0S+ - эго все члены из Л_, а остаток содержит всё,
что связывает Л+ и Л_. Если бы ехр(-Sc) принадлежало конусу SP, то всё
было бы доказано, так как в этом случае FBFe~s принадлежало бы К
сожалению, элемент ехр(-Sc) в том виде, как он есть, не принадлежит SP.
Однако мы можем "перевести" его туда, используя калибровочную свободу.
Отложим на время интегрирование по всем gxy, где А' е Л+, у е Л_ или
наоборот. Это соответствует взятию "условного среднего" {• ){gv л- Мы
утверждаем, что
если F калибровочно-инвариантно или вовсе не зависит от "опасных"
переменных gXi гх, то
что оправдывает термин "условное среднее". Доказательство вытекает из
следующего наблюдения: (F){gx гх) л является калибровочно-инвариантной
функцией своих переменных и существует калибровка, в которой все эти
переменные равны И. Таким образом, левая часть равенства (2.5) в
действительности не зависит от {gx.rx}, и поэтому заключительное
интегрирование по этим переменным ничего не меняет. В частности, мы имеем
Правая часть этого равенства получается из левой простой заменой всех gx,
гх в ¦-Sc на И. Непосредственная проверка показывает, что exp ( - Sc
({gx, гх = И})) принадлежит & (подробности см. в [92]). Теперь ясно, что
требование, чтобы F было либо четным, либо нечетным, на самом деле не
существенно, так как "смешанные" члены отсутствуют. Тем самым
доказательство закончено. ?
Из этой теоремы прямо вытекает существование квантовомеханического
гильбертова пространства Ж. А именно, пусть
можно записать как сумму трех слагаемых:
_s = -s+ -es* -SCl
(Fh*x, гх}, Л = <^>А,
(2.5)
(F)A = (F){gXtrX-n,^
(2.6)
^ = {FeiAJ(F0f)A = O}.
2. Основные свойства
23
Тогда скалярное произведение (FQF)л положительно-определённо на JJT.
Гильбертово пространство Ш определяется как его пополнение:
Ш = stxJJT.
Другим непосредственным следствием теоремы является существование
положительной трансфер-матрицы. Предположим, что мы умеем строить
термодинамический предел по крайней мере во "временном" направлении, и
допустим, что он инвариантен относительно сдвигов по времени. Пусть F е
s?a+. Обозначим через TF эту же функцию, но только от полей, сдвинутых на
две единицы в положительном направлении времени. Ясно, что (T,VFQF)\
равномерно ограничено по N. Повторно используя неравенство Шварца,
получаем 1}
\(TFQF)x | < <(T2F) QF)f (FQF)f < <(f2V) 0^)Г'' <F9F)a ^
Так как при п-~>-оо первый множитель стремится к 1, то
\<TFQF)A\^(FQFyA. (2.7)
Отсюда видно, что Т индуцирует корректно определенное сжатие Т,
действующее на классах эквивалентности s4-\JJf и, следовательно, на Ж.
Ясно также, что {{TF)QF)\^ 0, так что
О < Т < 1 на Ж.
Замечания. 1. Люшер [24] показал, что в действительности (при несколько
иных более ограничительных предположениях) Т > 0.
2. В [23] доказан чуть более общий вариант теоремы о положительности
ОШ, связанный с привлечением некоторых вспомогательных полей ("частично-
калибровочных полей").
Третьим хорошо известным следствием положительности ОШ являются так
называемые шахматные оценки (см. [22, 25] и большую библиографию,
приведенную в [23]). В нашей ситуации их можно записать следующим
образом.
Пусть Fx--"локальная" функция полей. Это означает, что Fх может зависеть
только от полей материи в точке х. Пусть, далее, сг/ = у/ - х, для пары
точек х, у, а г/, 0/- отражения относительно гиперплоскости X/ = 0
(лежащей посредине между двумя плоскостями решетки)2> и хху- трансляция
из
г</^х в У- Пусть функция F(Xy) есть результат сдвига и
') С учетом соотношения (tFQTF}\ = {f2FQF)\. - Прим. рвд, %> См. (2.2) -
(2.4). - Прим. перев,
24
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
отражения функции Fx, определяемый следующим образом:
Тогда и для периодических, и для антнпериодических граничных условий
справедлива
Теорема 2.2.
Доказательство по существу состоит в многократном применении неравенства
Шварца. Систематическое изложение вопроса имеется в [22, 25].
Этот результат можно распространить на функции от калибровочных полей
[23].
Положительность ОШ позволяет дать физическую интерпретацию двум типам
часто встречающихся наблюдаемых: петлям Вильсона и контурам т'Хоофта
(вихри, монополи). Допустим, что выполнен термодинамический предельный
переход и мы имеем неотрицательную трансфер-матрицу.
Заметим прежде всего, что физическое гильбертово пространство Ж
автоматически является калибровочно-инвариантным: так как среднее
калибровочно-инвариантно, то два элемента из связанные калибровочным
преобразова-
нием, различаются лишь на элемент нулевого пространства Jf (упражнение!).
Можно, однако, построить большее гильбертово пространство 36, в котором
не зависящие от времени калибровочные преобразования действуют как
нетривиальные унитарные операторы. Делается это следующим образом.
Пусть s&x - алгебра функций от полей в Л+, взятых во "временной
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed