Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пространство Y? имеет следующую структуру 1>:
У* = Гъ(r)Га, (1.10)
где Тs ("спиновое" пространство) - это пространство, в котором действует
представление эрмитовыми матрицами алгебры Клиффорда - Дирака,
определяемой соотношениями
ViVi + Y/Y= 26,/, /, / = 0, 1, 2..d- 1; (1.11)
То ("калибровочное пространство") - это унитарное пространство, в котором
действует унитарное представление Up калибровочной группы G.
Требуется, чтобы полевая конфигурация ф учитывала разложение пространства
Y? на тензорные сомножители, т. е. мы предполагаем, что она имеет вид
¦ф:я*-> {ФоаМ}. <2=1, 2......dimTs, а=1, 2, dimFG,
(1.12)
¦Фая М " еа (*) 0 fa (х), ea(=rs, Lsfo,
где индекс а отмечает "спиповые", а индекс а - "внутренние" степени
свободы.
Затем мы выбираем некоторое антиунитарное отображение / пространства Тс в
его изоморфную копию Та; в соответствии с этим выбором получаем полевую
конфигурацию ф = (Ц (r) /) ф:
г|э: XI-> (фаа(*)}- (1-13)
На Та естественным образом индуцируется унитарное представление Uf*=*
/t/F/_1 группы G, эквивалентное U?. Заметим, что если
Uptya = (Up)ab^b,
то
и^а==(up)ab% = (?/;% Л-
Теперь рассмотрим ортонормированные векторы {$аа(х), г['ао(л:)} как
образующие внешней алгебры над ??) (Тр (r) TF)<
X
где Tf = Ts(r)Tg' тогда мы можем построить функции на конфигурациях
спинорного поля со значениями в этой внешней алгебре, образуя полиномы от
этих образующих (в смысле внешнего умножения); примером может служить
!) Индексы F. S и G - от fermionfc, spin и gauge (калибровочный)
соответственно.- Прим. ред.
I. Схема построения решёточных калибровочных теорий
17
фермионное действие вида
Sf ({'Фаа (¦*•)> "ФаиМ}) {gvy})
" Т Yj ^аа М Г$ (Up)abbl> (*) + J Yj ^аа М Г"И;Ца (*)• (1-14)
X
"Наивный" выбор Г = М и
Уц, ерли (ху) имеет положительное ц-направление,
- Yn> если (ух) имеет положительное ц-направленме
приводит к исчезновению фермионных степеней свободы в непрерывном пределе
[18, 51, 92].
Этого удается избежать, выбрав следующее допустимое двухпараметрическое
семейство:
(О < г ^ 1). При 0 = 0, г = 1 получается действие Вильсона [18], при 0 =
я/2, г- 1-действие, предложенное в [19]. (Напомним, что - общепринятое
обозначение для эрмитовой матрицы, удовлетворяющей равенствам
Vs= Ь Y5Yi + YiY5 = ° Для *'==0,1, .. d- 1;
она существует, если размерность выбранного представления клиффордовой
алгебры достаточно велика.)
Замечание. Подчеркнем, что при таком выборе (1.14) уже не будет
инвариантным при киральных преобразованиях
даже при М = 0; это приводит к хорошо известным аксиальным аномалиям в
непрерывном пределе (см. [81]).
С предыдущим тесно связан следующий факт. Естественно предположить, что
непрерывный предел формально не зависит от 0. Однако более внимательный
анализ [95] (см. раздел 5) показывает, что часто в непрерывном пределе
остается "память" об угле 0. Соответствующие зависящие от 0 состояния
известны как Q-вакуумы; в другом контексте мы еще встретимся с ними в
разделе 4а.
Предположим теперь, что мы имеем дело с большим, но конечным
подмножеством А нашей решётки. В таком случае
Г0 нз М -- гйе1Въ,
ге1&ъ _|_ если (ху) имеет положительное ^.-направление,
геЩч - если (ух) имеет положительное ц-направление
18
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
приведенные выше формальные определения действий Sy. м., Sh, Sf
становятся осмысленными. Определим как грасс-манову алгебру, порожденную
образующими ¦фаа {х)} хед с коэффициентами, являющимися ограниченными
непрерывными функциями бозонных полей {gxy}, {ф{х)}. Алгебру s4-\ можно
рассматривать как отображение множества полевых конфигураций в
грассманову алгебру
Определим на зФк норму [| • || следующим образом. Внешняя алгебра дх
разлагается в прямую сумму однородных линейных подпространств
ЛЧ0? rp) + ?р))53 2 ^к
t !>0 ¦ п> О
Каждое подпространство наследует положительно-опре-
деленное скалярное произведение и норму Ц -1|, имеющиеся в Tv\ для
возможно разложение А = ? Ащ\ где Л(,г)е
е &\> и мы полагаем || А || == ? || А{п) Ц. При таком опреде-
О
лении !!ЛВ|К1|Л|Н|?||.
Для того чтобы задать норму в надо только заменить
комплексные числа, играющие роль скаляров в JFa> ограниченными
непрерывными функциями бозонных полей, снабженными sup-нормой. Так, если
F - X F(n) - разложение эле-
О
мента на однородные элементы по фермионным пере-
менным, мы полагаем
I) F ||= У sup || Я") ||.
$Йв {*(*>. вед}
По-прежнему \\F G|| ^\\F\\ • ||G||.
Наконец, среднее значение определяется как линейный функционал <¦) на
следующим образом (см. [58]). Сначала мы определяем "свободное" среднее
<-)0 как линейный функционал на s4-\, удовлетворяющий двум требованиям:
(a) <Р)л,о = 0, если степень элемента Р меньше максимальной степени во
внешней алгебре;
(b) /Р{{Ф(Х)}, {gxy}) (i)aaW^aaW)\ = ^
\ *еЛ /Л, 0
где йцд - положительная мера вида
*&= I dg"ne-V"m"d'Kx).
{ху)<^АХ\ хеЛ
2. Основные свойства
19
Здесь dg- (нормированная) мера Хаара на G, а а<р-¦ мера Лебега на Тн.
Легко видеть, что J</г>о| Оконча-
