Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
тельно для F е мы полагаем
Z.v = (е^н-Зу. м--5р)л, о
(sH обозначает действие Хиггса, в котором V заменено на 0).
Заметим, что оба функционала <->л,о и <•> А калибровочно инвариантны в
том смысле, что они не меняются при одновременной замене
8ху на hxgxyh~\
Ф(х) на ин(Нх)ф(х)
-ф(х) на UF(hx)^(x), я])(х) на t(x)UF('1xi)-
Модификации для случая, когда некоторые поля отсутствуют, очевидны.
Последнее замечание. Для решёточных теорий требование, чтобы G была
компактной группой Ли, можно ослабить: G может быть любой компактной
группой.
То, что мы получили с помощью нашей решёточной аппроксимации, во многом
напоминает модели статистической механики более привычных систем, за тем
исключением, что здесь появляются несколько непривычные из-за своей
"грассмано-вости" фермионные поля. Мы увидим, что типичную проблему
статистической механики, а именно переход к термодинамическому пределу,
можно исследовать методами, непосредственно обобщающими имеющиеся
стандартные методы; то же верно по отношению ко многим другим
представляющим интерес вопросам.
Нужно также подчеркнуть, что мы "интегрируем" по пространству
конфигураций всех полей, включая калибровочно эквивалентные. В отличие от
формального непрерывного случая здесь нет необходимости "фиксировать
калибровку", вводя вспомогательные объекты, подобные духам Фаддее-ва -
Попова, хотя при желании это можно сделать (см. [19, 20]).
2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
В этом разделе мы опишем и докажем некоторые основные свойства решёточных
калибровочных теорий, не связанные с привлечением таких более тонких
методов, как кластерные разложения или "интегральные уравнения".
20
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
а, Свойство положительности по Остервальдеру - Шрадеру
и его следствия
Это свойство, часто называемое отражательной положительностью, известно и
используется для соответствующих решёточных систем уже довольно давно
[21, 22]. Его не следует смешивать с положительностью бозонной меры ф v
введенной выше (последнее свойство фигурирует под именем "положительности
по Симанзику - Нельсону" в эвклидовой квантовой теории поля).
Положительность по Остервальдеру- Шрадеру (или, короче, положительность
ОШ) сохраняется даже при включении фермионов в теорию. Это свойство
полезно для "технических" целей, однако его главное на-
t = nn
t= о
Л
Рис. 1.
значение состоит в том, что оно позволяет строить квантово-механическое
пространство состояний с положительно-определенным скалярным
произведением. Оно должно сохраняться и в любом разумном непрерывном
пределе. Положительность ОШ для решеточных калибровочных теорий была
доказана в [19] (см. также [23]).
Мы ограничимся следующими двумя ситуациями:
1) Конечное множество Лс Zd симметрично относительно гиперплоскости t
- 0, лежащей посредине между гиперплоскостями решетки (рис. 1).
2) Конечное множество Л свёрнуто в тор или цилиндр. Более точно, это
означает, что мы отождествляем точки
(по, Пи И (по + 2N, Пи rid-1)
и т. д. Если мы имеем дело с фермионами, то они должны подчиняться так
называемым антипериодическим граничным условиям:
ty(nQ,nu .... nd-i) = -ty(n0-t-2N,nl, nd-i)l (2.1)
2. Основные свойства
21
бозонные же поля подчиняются обычным периодическим условиям. (Если
читателю покажется, что условие (2.1) противоречит только что
предположенному отождествлению, то он может рассмотреть обычные
периодические условия, ио при этом произвести следующее изменение в
фермионном действии: знаки членов, связывающих положительные и
отрицательные "времена", т. е. членов, содержащих N и -N, должны быть
изменены на противоположные. Нетрудно показать, что результат не зависит
от выбора начала отсчета времени.)
В обоих случаях 1) и 2) существует естественное разложение
Л = Л+ U Л_ (Л+ П Л- = 0), (2.2)
и имеется естественное отображение г ("отражение относительно плоскости t
= О")
г:Л±-"-Лт. (2.3)
Это отражение индуцирует антилинейное отображение 0 полевой алгебры s4-x,
соответствующей Л, если потребовать, чтобы
(a) 0F {{ф (*)}) = F {{ф (гх)}),
QG({gxy}) = G({grx,ry}y,
(b) 0ф (х) = -ф (rx) Yo,
(х) = Yo^ (гх)\
(c) 0 (АВ) = (05) (0Л).
Ясно, что условия (а)-(с)' единственным образом определяют 0 как
антилинейное отображение "s/л в $?\ с дополнительным свойством
еМл± = ^лт. (2.4)
Теперь может быть сформулирована
Теорема 2.1 (о положительности ОШ; впервые доказана в [19], однако
приведённое там доказательство не вполне корректно). Если F е s?a+, то
<FQF)a > 0.
Доказательство. Допустим сначала, что F либо четно, либо нечетно.
Заметим, что
(FQF)о ,Л = (F)о, л+ (QF)0, л_ -1 (F)о, л+ I2 > 0.
П
Элементы вида ? ciFfiFi, где ct~^ 0, Ft^s4-\ , Fi либо чет-i-i + но, либо
нечетно (г = 1, 2.......п), образуют "мультиплика-
22
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
тивнып конус" 3>, 1. е. произведения элементов такого вида (и, конечно,
линейные комбинации с положительными коэффициентами) опять имеют такой же
вид.
Отсюда следует, что если F е и F либо четно, либо нечетно, то ezp(FOF)
