Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
SXy, мы пишем Т - *Sxy. Концевые точки хну можно интерпретировать как
"вихри". Множество Т можно рассматривать как дуальное к поверхности,
ограниченной струной Sxy и некоторой прямой в плоскости t = 0.
Если d = 4, то Т' будет обычно состоять из всех плакетов, дуальных к
поверхности 5С, лежащей в дуальной решетке и
28
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
пересекающей плоскость t = 0 по некоторому замкнутому контуру С ("линии
вихрей"). Множество Т будет дуально к объёму, ограниченному поверхностью
Sc и некоторой поверхностью, лежащей в гиперплоскости / = 0.
Г. т'Хоофт [26] нашел интересные топологические коммутационные
соотношения между операторами петель Вильсона и операторами беспорядка;
эти соотношения позволяют интерпретировать одно через другое.
В случае d - 3 рассмотрим струну *Т, начинающуюся и оканчивающуюся в
плоскости ^ = 0. Тогда Т дуально к поверхности в Л+, ограниченной струной
*Т. Пусть WX(C) - петля Вильсона в Л+. Тогда
Вш (Г) W х (С) = Хх (со'!(tm)) гт (С) Ва (Г),
где птс - алгебраическое число пересечений С с Т или, что эквивалентно,
число вращения С вокруг *Т' U (*Т f| {t = 0}).
В случае d - 4 рассмотрим поверхность *Т' с= Л+, которая начинается с
некоторого контура С', лежащего в гиперплоскости t = 0, и расположена
выше этой гиперплоскости в смысле направления "времени". Тогда Т будет
дуально к трехмерному объему в Л+, ограниченному поверхностью *Т'. Пусть
WX{C) - по-прежнему петля Вильсона в Л+. Тогда опять выполняются прежние
коммутационные соотношения. Как и раньше, пТс - алгебраическое число
пересечений С с Т, однако его можно также интерпретировать как
коэффициент зацепления С с *Т' U (*Т П = 0}) ¦
Если контур С лежит в плоскости t - const, то можно сказать, что WX{C)
измеряет магнитный поток. Поэтому коммутационные соотношения означают,
что Ва(Т') есть оператор рождения для магнитного потока. Аналогично мы
можем сказать, что WX{C) порождает электрический поток через С, а Ва(Т')
измеряет его.
Близким, хотя и несколько отличным типом наблюдаемой является наблюдаемая
беспорядка Вегнера - т'Хоофта. Она может быть введена в абелевых моделях
как наблюдаемая, дуальная к петле Вильсона [5]. По этой причине в случае
d = 4 она связана с потенциалом взаимодействия между монополями и
ангимонополями таким же образом, как петля Вильсона связана с потенциалом
взаимодействия между зарядами. Полное определение при d = 4 таково.
Пусть С - замкнутый контур на дуальной решётке, 5 - поверхность с
границей 6S = С. Определим модифицированную статистическую сумму Za(o),
С), заменив gep на gap(r) на каждом плакете поверхности *S, дуальной к S.
Из калибровочной инвариантности вытекает, что на самом деле Za(со, С}
зависит только от С, а не от S. Среднее контура т'Хоофта
2. Основные свойства
29
дается формулой
<0.(S)),v=4lTof-
Мы получим точно такой же результат, если будем считать, что D(r) (S) есть
обычная наблюдаемая, а именно (см. [5])
(S) = ехР {2^> Es X (go?) - 1) j •
Интерпретация этой наблюдаемой в терминах взаимодействия монополь -
антимонополь проводится таким же образом, как интерпретация петли
Вильсона в терминах взаимодействия зарядов. Взяв прямоугольный контур в
плоскости 01
мтт
Рис. 4.
и сделав разрез по гиперплоскости t = const, содержащей горизонтальную
часть контура, мы получим картинку, подобную представленной на рис. 4,
где все нарисованные плакеты модифицированы элементом со. Это означает,
что в концевых точках нарушается "тождество Бьянки", т. е. магнитный
поток через поверхность куба, окружающего одну из концевых точек, не
равен нулю (в случае неабелевой группы эта интерпретация немного
условна). Поэтому концевые точки отождествляются с конфигурацией пары
монополь - антимонополь.
с. "Диамагнитное" неравенство
Диамагнитные свойства бозонных систем, по крайней мере нерелятивистских,
хорошо известны. Общие доказательства были даны Саймоном [27, 29] и
Хессом, Шрадером и Улен-броком [28]. Они основаны на использовании
неравенства Като или стохастических интегралов Ито (последний метод
восходит к одному замечанию Нельсона, как об этом написано в [29]).
Ознакомиться с этими доказательствами и связанными с ними вопросами можно
по работе Хунцикера [30].
Здесь мы имеем дело с существенно релятивистскими системами, которые
могут также содержать фермионы (спиноры). Доказываемое ниже неравенство
выражает совместный эффект диамагнитного поведения бозонов и
парамагнетизма, обусловленного спином. (Поэтому название неравенства
запи-
30
Ч. /. Решёточные калибровочные теории
сано в кавычках.) Поистине замечательно, что эти два противоположных
фактора приводят к неравенствам одного типа.
"Диамагнитные" неравенства относятся к статистической сумме во внешнем
калибровочном поле. Пусть (• )о, л, {g^} - "условное материальное
среднее" (отсутствует интегрирование по {g.v,,}). Тогда
Неравенство, о котором идет речь, состоит просто в том, что
Существуют доказательства различной степени общности, соответственно
