Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
стохастичности ее движения, т. е. в области перемешивания траекторий в
фазовом пространстве, удобно рассмотреть сначала пример какой-либо
простой системы (ком. 4). Выберем в качестве такой системы нелинейный
осциллятор, воз-
t0/rc = R/l<i.
(1.11)
г с = утс = l3/R* = г0 • 1/R > г0.
(1.12)
107
мущаемый внешней силой, зависящей от времени. Гамильтониан системы в
переменных действие - угол имеет вид
H = H0(I) + eV(I, 0, *), (2.1)
а уравнения движения
/ = -е^, О = (о (7) + е . (2.2)
Согласно определению (1.2) оператора Лиувилля имеем из (2.2)
L = L0 "Ь eZ^if
? . д f' (2.3)
?0 1(0 дЬ, Lx - I ^ dQ dIJ.
Функция распределения / = /(/, О, ?) удовлетворяет уравнению Лиувилля
(1.1):
ig = (?0 + e?i)/. (2.4)
Учитывая, что зависимость / от фазы О должна быть периоди-
ческой, запишем разложение в ряд Фурье:
По соображениям, которые станут очевидны ниже, удобпо представить /" в
виде
]п (/, 0 = /п(Л f) exp[-inJ<o(f') Л' j,
где <o(f) = <o(/(f)). Таким образом, разложение /(/, О, f) принимает вид
/ (Л <М) = ^ 2 /" <7' 0 exp [ш (о - J(О (Г) dtj
(2.5)
Подстановка (2.5) в (2.4) дает
j- = е 2 ехР J (c) (О dt' j <га | | то) X
X exp im J <o (f') df' J, (2.6)
где введен матричныи элемент возмущения
2Я
<га | Lj | m> = j* d& exp (- inb) exp (iwd). (2.7)
f08
Запишем формалыюе решение уравнения (2.6):
/П(Л f) = /n(/,0) - ie2 j ехрГi (л - т)|(о (*')*'] X
т о L о J
X <га| 2Х| тп.) /п"(/, ty).
Итерация этого уравнения до членов второго порядка по е вклю-
чительно дает
t
т "
X exp (п - го) J w (t') dt' j <л | (t,) | /п> /т (/, 0) +
t *i г 4i 1
+ (- ie)2 S S f f ехР \i (п - т) J w (О dt' X " * о о L о J
X <w | Lx (fj) |ro> exp |^i (ro - k) J w (t') df' j X
Х<т|21(О|Л>/*(Л0)+ ... (2.8)
Из (2.8) следует, в частности, для пулевой компоненты фурье-разложеппя
(2.5):
t
/о(Л 0 = /.(A0)-ieSjd*1X
m "
X exp im J (c) (*') Л'j <01 (tx) | m> /m (/, 0) +
' Гг1 1
+ (- ie)2 2 2 J dty j dti exp - im, J w (*') dt' X m k о 0 L 0 J
X exp j^i(m-A)Jo) (t') dt' j <01 (tx) | ro> X
X<m|21(t1)|fc>/fc(/,0)+ ... (2.9)
Мы пришли к выражению, которое позволяет обсудить некоторые
принципиальные вопросы вывода кинетического уравнения. Из разложения
(2.5) следует, что /0(/, t) есть та часть функции распределения /(/, Ф,
t), которая не содержит зависимости от фаз Ф. Пусть при f == 0 начальные
условия были таковы, что /*(/, 0) Ф 0 для некоторых кФ 0. Тогда из (2.9)
следует, что для /0(/, t) нельзя получить уравнепие в замкнутой форме.
109
Можно сказать, что решение /<>(/, t) (если бы мы его умели найти)
содержит память о начальных условиях благодаря зависимости от /*(/, 0).
Предположим теперь, что при t = 0 начальные условия имеют вид
Л(/, 0)-/"(/, 0)8*. о, (2.10)
где б*, о - символ Кронекера. Тогда выражение (2.9) можно записать в
виде:
/о(ЛО =
* *1 Г *2 1
/о (Л 0) - е2 S J Л1 f dt2 ехр \im j и (t') dt' т о о L J
X
X <01A (IJ | ту <т 1(*г) 10> /" (/, 0) + ... (2.11)
Будем также считать, что Lt(t) является периодической функцией t с
периодом Т = 2я/Й. Тогда можно записать
(0 = 2 Li,p ехР (ipQfyf Llt~p = Llt р, (2.12)
р
Подстановка (2.12) в (2.11) дает
* Г г2 1
/о (Л 0 = /о (Л 0) - е2 2 J J Л. ехр im j to (f') dt' X
X |2 <01 Z-i.p | m> <m | Lj,_p 10> exp [ipQ (f2 - ij)] +
+ 2 <01 LliP | m> <m J Li<q 10> exp [i (ptx + qh) Q]1 X
P+g^o
X/o(/,0)+... (2.13)
Выражение в фигурных скобках представлено в виде суммы двух членов:
диагонального и не диагонального. Их асимптотическое выражение при t -*¦
°о дает разного порядка вклады в /0(/, t). Для анализа этих вкладов
рассмотрим выраженпе
*2
Ч>(*.Л)= J (r)(1')Л\ (2.14)
В первом приближении можно записать
¦ф^г, tt) " (о(/Ш2 - ti). (2.15)
Из уравнений движения следует, что поправки к (2.15) при
a = //(c)ld(o/d/| < 1, 8<1 (2.16)
имеют порядок осе с точностью до временного множителя. При а < е ими
можно пренебречь. О более сложных случаях будет сказано позже.
110
Таким образом, с учетом (2.15) выражение (2.13) может быть преобразовано
к виду
t и.
/о(/,*)-/.(ЛО> -<*техр[-i(uw> -pQ)T]x т Р 0 о
X <01 LltP | m> <m | Lx _p 10> /" (/, 0) -
'i
- e2 2 J J dt2 exp [imco (f2 - fx) + (ptt + qt2) Q] X
р+оФо0 0
X <01 LltP I m> <m I L1>q 10> /" (/, 0) + ..., (2.17)
где в первом члене ~е2 сделана замена переменных x = t2 - ti. Сравним два
члена ~е2, стоящие в (2.17). Простой анализ показывает, что при f -"¦ °°
первый из нпх ведет себя как е% в то время как второй является всегда
осциллирующим (если p^-q) ы имеет порядок е2•1. Это позволяет пренебречь
последним членом в (2.17). Дифференцирование оставшегося выражения по t
дает при t -*¦
00
^ = - е2 2 2 J * ехР [-"(тсо - Р&) Т1 х
т р о
X <01 LltP | т> <m | _р 10> /0, (2.18)
где сокращенно принято /0 ^ /0(/, t) н в правой части с той же точностью
до е2 сделана замена /0(/, 0) на /0(/, t).
Для дальнейшего упрощения выражения (2.18) воспользуемся формулой 00
J dx exp (- ivx) -¦ яб_ (v) = лб (v) -
о
в которой & обозначает символ главного значения. Из определений (2.7) и
