Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
становятся применимы при больших N. В действительности вопросительный
знак переходит лишь в другое место: какие N можно считать большими? Чем
число N = 10гз, при котором законы статистической механики заведомо
выполняются в доступных нашему вниманию объектах, отличается от числа N =
102, при котором появлеппе стоха-стичиости становится далеко не
безусловным (как мы увидим ниже)?
Нелинейное волновое поле является наиболее удобным и наиболее изученным в
настоящее время объектом для анализа условий перехода от регулярного
движения к перемешивающемуся (стохастическому) в системе с большим числом
степеней свободы. В этой главе будет рассмотрено поле со слабой
нелинейностью, под которой подразумевается, что нулевое приближение в
виде линейного волнового поля является достаточпо хорошим приближением.
§ 7.1. Проблема Ферми - Паста - Улама (ФПУ)
Происхождение и формулировка проблемы. Перекрытие резонансов и
граница стохастичности
Первая попытка убедиться в правильности ортодоксального взгляда на
условия применимости законов статистической механики к реальным системам
(большое число степеней свободы N
123
и сильное взаимодействие между ними) была предпринята в известной работе
Ферми, Паста и Улама [110]. Ее авторы исходили из следующих соображений.
Рассмотрим колеблющийся континуум - струну. Приближенно этот континуум
может быть заменен конечным числом колеблющихся точек - осцилляторов.
Например,
Uщ - (Um-1 2lim "Ь Um+l) "1" ^ Ищ) (lim Пт- 1) 1 j
(1.1)
771 = 0, 1, . .., N - 1.
Система (1.1) описывает цепочку из N связанных ангармопиче-ских
осцилляторов, у которых смещение ит удовлетворяет некоторому граничному
условию, например циклическому:
Ицг == Uq.
Системе (1.1) приближенно соответствует уравнение колебаний струны:
lift = UXx (l + ЗРм*) + yUxxxxt (1*2)
где f = а2/12, а - шаг цепочки.
Пусть теперь создана некоторая простая конфигурация струны,
соответствующая возбуждению одной или нескольких низших мод струны. Если
мы ожидаем статистическое поведение системы, то ее термализация означала
бы передачу энергии из возбужденных мод во все остальные. Возбуждение
новых мод должно происходить таким образом, чтобы энергии каждой из нпх в
среднем были близки по значениям (равнораспределение энергий по степеням
свободы). Эти рассуждения очевидным образом перёпосятся на цепочку
осцилляторов (1.1). Необходимо лишь, чтобы N было достаточно велико (в
работе [110] N достигало 64). Взаимодействие мод (или осцилляторов)
осуществляется благодаря наличию нелинейных членов в уравнениях (1.1),
(1.2). Поэтому даже прп
1 решение системы (1.1) при больших N представляет серьезные
трудности. В начале 50-х годов в Лос-Аламосе появилась возможность
провести численное изучение системы (1.1) па ЭВМ, результаты которого и
были приведены в статье [110] (ком. 1). Авторы были очень удивлены этими
результатами. Вместо ожидавшейся термализацни цепочки осцилляторов
энергия из возбужденной моды передавалась лишь в несколько ближайших мод
п дальше по спектру не распространялась. Общий характер движения системы
носил условно-периодический характер без явиых признаков стохастичности.
Возникшее противоречие между исходными рассуждениями и результатом
численного эксперимента получило название проблемы Ферми - Паста - Улама
(ФПУ).
Дальнейшие исследования [111 - 113] подтвердили результаты, полученные в
[110], и тем самым закрепили возникший парадокс. Его разрешение было
впервые предложено Израилевым и Чириковым [114]. Оно основывалось на том,
что для возникновения стохастичности необходимо выполнить некоторые
специаль-
124
ные условия для нелинейности колебаний осцилляторов и энергии возбуждения
системы. Эти условия не были выполнены в работах [110-113], что и привело
к устойчивости системы и сохранению в ней условно-периодического
движения.
Проведем качественный анализ условия появления стохастич-ности [114] в
системе (1.1). Введем координаты д* с помощью соотношений
я
мт = (2IN)112 2 Qh sin (яkm/N). (1.3)
h=l
Ouu удовлетворяют уравнениям движения
Як + о2 [l - Ц- о* (2 - (c)л) g*] qh =
= W 2 vkk1k2kaqk1qkiqh3^ (1.4)
где Vwtjftjfc,-известная функция к, Тс,, к2, к3 и
(0* = 2sin(nfc/2jV). (1.5)
Система (1.4) описывает колебания связанных осцилляторов. Если считать
параметр р достаточно малым, то связь между осцилляторами мала и в
нулевом приближении их можно считать невзаимодействующими. Тогда можно
записать
Qh ~ (0 COS 0ft, 0^
О* = &ht + Const, (Oft = (Oft + 6(0ft, где ck(t) - амплитуды колебаний, a
- поправка к частоте за счет энгармонизма колебаний. Подстановка (1.6) в
(1.4) дает первое приближение:
Як + ((c)ft + 6(Oft)2 Qh =
= 2 VI")V"Acos<,'1cos^2cosflV (1>8>
h1,h2,h3
Отсюда видно, что в системе (1.8) могут возникать резонансы при
условиях _ з
"(Oft + 2 0" и, Л{=±1. (1.9)
Для определения ширины резонанса поступим аналогично тому, как это
делалось в § 4.3. Подставляем (1.6) в (1.8) и удерживаем старшие члены.
Это дает
