Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
(2.12) следует, что <01/^,Pl/reXm|Lii_р|0> есть четная функция от т, и р.
Поэтому
22
т р
и, следовательно, уравнение (2.18) принимает следующую окончательную
форму:
Цf = - ne222<°lLi.plm><mlZ:'i-pl0> х
т р
X 6 (та - pQ) /0, (2.19)
которая и является основным кинетическим уравнением для нелинейного
осциллятора (ком. 5). Стоящая в (2.19) б-функция
111
отбирает резонансные взаимодействия между осциллятором и внешним полем.
Если отвлечься от неравенств типа (2.16), которые играют не столько
принципиальную роль, сколько техническую, то нетрудно видеть, что
основным условием, использованным при выводе основного кинетического
уравнения, является предположение о начальных условиях (2.10). Оно
называется приближением хаотических фаз (ПХФ). Смысл этих слов может быть
понят аз разложения (2.5) при f = 0. Действительно, если считать, что
фазы при f = 0 случайны, то усреднение по ним в выражении
(2.5) приводит к равенству (2.10).
Рассмотрим (2.19) в более конкретной форме. Для этого обратимся к примеру
из § 4.1, в котором зависимость возмущения от времени имела вид
периодической последовательности б-функ-ционных импульсов. Согласно
(4.1.4)
V (/, О, t) = V0 (/, О) Т 2 6(t-kT), Т = 2л/?2. (2.20)
fc=- 00
Введем разложение
V (/, 0) = 2 Vn (I) ехр (mfl), V_n = К (2.21)
П
Из определений (2.3), (2.7), (2.12), (2.20) и (2.21) нетрудно получить
<0|LJiP|/re> <и" | Ь1в_р 10> =
=____m2(dV(tm) 4- V -W - = - m2 - IУ I2 -
m \ dl + mdlj' mdl дГ m| dV
Уравнение (2.19) теперь принимает вид
<2-22>
где величина DU), называемая коэффициентом диффузии, равна D (I) = ле2 2
2 и*21 Vn |2 б (та - pQ). (2.23)
т р
Мы получили кинетическое уравнение (2.22) типа уравнения Фоккера -
Планка. Если считать, что частоты Q очень малы (Q < (о), то суммирование
по р можно заменить интегрированием:
2 б (та - Г d (pQ) б (та - рЙ)
р
и выражение (2.23) переходит в следующее:
Я(/) = ле22 m2|Vm|2/Q, (2.24)
т
пропорциональное спектральной плотности энергии возмущения IVJ7Q.
112
Полезно также отметить, что выражение (2.24) совпадает с тем, которое
получается из стандартного вывода уравнения Фоккера - Планка.
Действительно, как известно,
DU) = Ш7/Т, (2.25)
где Д/ - изменение действия на интервале Т, а черта означает усреднение
по фазам. Из уравнений движения (2.2) и вида возмущения (2.20) следует
/ = -edV/d"=-e[dV0(/, Ф)/д0]Г 2 б(* - кТ).
к
Отсюда интегрированием по интервалу времени величиной Т находится
Д/ = -е[ЗУ"(/, Ю/дМТ.
После подстановки этого выражения в (2.25) и усреднения по фазам легко
получаем выражение (2.24). В приведенных рассуждениях мы вместо условия
(2.10) воспользовались более расплывчатым приемом усредпенпя по фазе на
каждом толчке внешней силы.
Теперь покажем, что если осциллятор совершает движение с перемешиванием,
то надобность в использованпи каких-либо априорных предположений типа ПХФ
отпадает. Рассмотрим ту же систему (2.2) с возмущением в форме (2.20) и
воспользуемся анализом, проведенным в § 4.1. Согласно (4.1.14) движение
осциллятора является стохастическим, если выполнено условие К = еаа>Т> 1.
(2.26)
При условии (2.26) корреляционная функция фаз осциллятора
(4.1.15) расцепляется экспоненциально со временем по закону
(4.1.17):
2 Я
91 (m, t1 л, 0) = J dO (0) exp{i [mO(f) - я0(0)]} ~
о
~ ехр (- Цтс) exp (imwt), (2.27)
где время расцепления корреляции равно
тс = 27У1пЯ. (2.28)
Обратимся теперь снова к уравнению (2.9) и подставим в пего разложение
(2.12). Это дает
/о (Л *) = /о (Л 0) - ie 2 j dfj ехр im j <о (?) dt' j X
t h
X (01 Lx (tj) | my fm (/, 0) - 8a22 J dt± J dt2 X
i j* <o(f')df'J i
X <01 iltP | m> <m | Lu_p 10> /0 (/, 0) - в2Г, (2.29) 8 Г. M. Заславский
113
т Р
X ехр I im J <o (f') dt' I ехр [ipQ (t2 - ^)] x
где через ег2' обозначены все остальные члены порядка е*. Выше уже
отмечалось, что при анализе асимптотического поведения foil, t) прп t -*¦
оо необходимо отобрать старшие по t члены, т. е. такие, которые
обеспечивают резонансное взаимодействие осциллятора с внешним полем.
Анализ, аналогичный тому, который уже проводился выше, показывает, что
именно такие члены выписаны в (2.29). В сумму 2' входят только
нерезонансные быстро осциллирующие члены. Поэтому ими можно пренебречь
при t -*¦ оо. Принципиальное отличие выражения (2.29) от того, которое
может быть получено в условиях ПХФ, связано с наличием члена первого
порядка по е. Именно в нем сейчас сохраняется память о начальных
условиях.
Введем операцию огрубления по фазам:
2Л
<•••>-srj <2-30>
о
выражающуюся в интегрировании по начальным фазам. Обозначим
FU, *)-"/.(/, *)". (2.31)
Применим оператор (2.30) к выражению (2.29) и отбросим не-резопансные
члены, содержащиеся в 2':
t
F(/, 0 = /0(/0.0)-ie2j*1X
m 0
X {exp [- tmty (tu 0)]> <01 Lx (tj) | m> fm (/, 0) - t *t
- e2 2 2 J dtr \ dt2 (exp [- iwnj> (tlt t2)]) X
m p о о
X exp [ipQ (t.2 - "!>] <01 L1<p | m} (rn | Llt-P | 0> f0 (/, 0), (2.32)
где использовано обозначение (2.14). При анализе уравнений движения в §
