Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
изображены осцилляции следующего порядка. Сейчас стало ясно, что в
некотором точно определенном смысле структура гомоклинических точек
является случайной. Эти результаты способствовали развитию метода
исследования динамических систем, называемого символической динамикой
(ком. 4). К сожалению, сложность метода делает его пока труднодоступным
для физического анализа. Тем не менее можно использовать следующие
качественные рассуждения.
Все множество гомоклинических точек назовем гомоклиниче-ской
"структурой". Различные системы имеют топологически эквивалентные
гомоклинические "структуры", если совпадают их системы гиперболических
точек. В этом случае можно говорить, что законы стохастического поведения
фазовых траекторий также эквивалентны, или, иначе, такие системы
изоморфны. При перекрытии большого числа резонансов возникает
гомоклипиче-ская "структура", порожденная очень большим числом
гиперболических точек, и можно ожидать, что точное знание числа
гиперболических точек несущественно, если это число велико. Отсюда мы
приходим к выводу, что все гамильтоновы системы с одинаковой размерностью
и с большим числом сильно перекрытых (/?>1) резонансов являются
изоморфными, если они имеют приблизительно равные значения К. Напомним,
что при К" 1 мера островков устойчивости, которые могли бы внести
некоторое разнообразие в стохастическую дииампку, очень мала (~1 /К).
Поэтому остается сделать еще один шаг, заключающийся в утверждении, что
все физические системы с одинаковым числом степеней свободы в той области
фазового пространства, в которой Х>1 п реализуется тем самым быстрое
перемешивание, являются изоморфными /f-системами (ком. 5).
Комментарии к гл. 5
1. Тот факт, что возмущение приводит к очепь сложной картипе
разрушения сепаратрисы (к так называемой гомоклинической структуре,
которая рассмотрена в этой главе), был отмечен еще Пуанкаре. Исследование
этой структуры было связапо с определенными трудностями, и первая оценка
ширины области разрушения была получена Мельниковым [82]. Соображения о
том, что разрушение в окрестности сепаратрисы носит стохастический
характер, были высказаны впервые в работе [83]. В ней же было показапо,
что имеется локальная неустойчивость впутри слоя, называемого
стохастическим, что движение частицы внутри слоя носит диффузиопный
характер и что для оценки ширины слоя может быть использован критерий
стохастичпо-сти. Этот подход, подтвержденный численным анализом [83],
позволил оце-
101
вить ширину области разрушения сепаратрисы для различных соотношений
между параметрами возмущения и параметрами системы [84, 14, 15, 24].
2. Подробное изложение необходимых сведений по проблеме существования
магнитных поверхностей имеется в обзоре Морозова и Соловьева [86]. Связь
с общими задачами устойчивости интегралов движения динамических систем
обсуждалась Арнольдом [311 и Мозером [33]. Стохастическое разру-шелие
магнитных поверхностей было получено в работах [87, 83] (см. также [14]).
3. Аналогичная картина разрушения так называемого третьего интеграла в
задачах небесной механики была получена численно Контопулосои [89].
Другой красивый пример разрушения интегралов движения был также найден
численно Казати и Фордом [90] в модели двух неравных масс,
взаимодействующих с эксполенциально зависящим от разности координат
потенциалом.
4. Развитие методов символической динамики было стимулировано
фундаментальной работой Смейла [93]. Это лаправление сейчас активно
развивается (см. монографию Нитецкого [95]). Изложение основных понятий,
связанных с гомоклиническими точками, можно найти в [94, 95].
Исследованию стохастических свойств динамических систем методами
символической динамики посвящены работы Алексеева [96, 97].
5. В этом месте необходимо напомнить об отсутствии строгого (в
математическом смысле) содержания в используемых пами понятиях
изоморфизма и /Г-систем. Свойства реальных динамических систем создают
определенные трудности на этом пути. Поэтому в слова "изоморфизм" и "АГ-
сис-темы" вкладывается скорее физическое содержание, которое позволяет
пользоваться этими терминами, не интересуясь рядом тонких деталей.
Оправданием этому может служить тот обширный экспериментальный (реальный
и численный) материал, который подтверждает правильный взгляд на сущность
явления стохастичности. Еще раз обращаем внимание на то, что обсуждаются
пока только гамильтоновы системы.
ГЛАВА 6
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ II КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Впервые понятие кинетического уравнеппя было введепо Больцманом в 1872 г.
Обычно в это понятие вкладывается такой способ описания поведения
системы, который бы явно отражал необратимые процессы эволюции. Свойство
необратимости было выражено Больцманом в виде зпаменитой Я-теоремы, или,
иначе, теоремы о неубывании энтропии. Структуры уравнений,
удовлетворяющих условиям Я-теоремы, как выяснилось спустя много лет,
допускают не очень большое разнообразие и сейчас известны достаточно
