Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
поток) система (2.18) приводится к гамильтоновой форме [83], если
считать, что z - z(H, х, у). Таким образом, мы получили обычную
динамическую систему, которую необходимо исследовать при добавлении к
(2.17) некоторого возмущения.
Результаты проведенного выше анализа позволяют сразу сделать утверждение
о разрушении сепаратрисы магнитных поверх-
93
ностей и произвести оценку области этого разрушения. Приведем конкретный
пример такого анализа [83]. Невозмущенная геометрия магнитного поля
создается п парами проводников с током, симметрично навивающихся на
цилиндр. В цилиндрических
координатах скалярный потенциал винтового магнитного поля имеет вид Ф =
B"z + bl"inr) sin и(<р - z),
(2.19)
B = V<D,
где B" и b - константы, /" - функция Бесселя мнимого аргумента и шаг
винта положен равным единице. Введем величину
Н = V2r2 - brl'n (nr) cos пв (2.20) н переменные
р = V2r2, 0 = ф - z.
Тогда непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости
уравнений
• *Р__дН_ Л de _ ая
Р - dt ~ дв ' 0 - dt ~ др '
т. е. Н = Жр, 0) - гамильтониан системы. Фазовые траектории, например,
для п = 3 изображены на рис. 5.2. Они и определяют магнитные поверхности
в сечении плоскостью t = const. В реальных условиях проводники, создающие
магнитное поле, наматываются на тор. В результате этого возникает
возмущение порядка
е " r"/R
(где г0 и Л - соответственно малый и большой радиусы тора). Оно и
определяет область разрушенных магнитных поверхностей.
§ 5.3. Общая картина стохастического разрушения интегралов движения в
фазовом пространстве
Резонансы и области стохастичности. "Квант стохастичности" в фазовой
пространстве. Происхождение островков устойчивости. Разрушение интегралов
движения. Замечание о теореме Пуанкаре. Два примера: движение частицы в
поле двух плоских волн и в поле волнового пакета
Сейчас мы располагаем достаточной информацией, чтобы создать картину
появления стохастичности в фазовом пространстве гамильтоновых систем.
Действительно, в произвольном возмущении можно выделить в первом порядке
резонансные и нерезонансные члены. Резонансные члены порождают
сепаратрисы нелинейного резонанса и связанную с ней систему эллиптических
и гиперболических особых точек. В окрестности каждой из сепаратрис
образуется стохастический слой некоторой ширины. Стохастические слои
Рис. 5.2. Магнитные поверхности винтового поля при и = 3.
"4
различных резонансов могут объединяться, если сепаратрисы резонансов
перекрываются, и образовывать более широкие области стохастичности. Таким
образом, каждая ячейка сепаратрисы "одевается" стохастическим слоем,
который является минимальной областью стохастичности. Поэтому его можно
назвать "квантом стохастичности". "Стохастическое море" в фазовом
пространстве образуется в результате слияния "квантов стохастичности".
Однако каждый такой "квант" устроен сложно. В центре его (т. е. в центре
одной ячейки разрушенной сепаратрисы) лежит всегда островок устойчивости,
порожденный эллиптической точкой. Действительно, всегда существует такая
окрестность эллиптической точки, внутри которой нелинейность меньше того
критического значения, при котором происходит разрушение инвариантных
торов. Поэтому внутри островка устойчивости справедлива теория КАМ. Это
означает, что в "стохастическом слое" разрушенных торов находятся
островки инвариантных торов.
Все, что говорилось выше, было основано на анализе в первом порядке по
возмущению. В следующем порядке, очевидно, внутри каждого островка
устойчивости возникнут новые сепаратрисы, порожденные нелинейными
резонансами следующего порядка по возмущению. Эти сепаратрисы снова
"оденутся" стохастическими слоями, сохранив внутри островки устойчивости
более высокого порядка малости, и т. д.
На рис. 5.3 изображена схематически описанная выше картина. Она
различается для случаев числа степеней свободы N = 2 и N>2. Как уже
отмечалось в § 1.4, торы делят пространство только в случае N = 2.
Поэтому области устойчивости хорошо
Рис. 5.3. Структура областей стохастического разрушения интегралов
движения в зависимости от числа степеней свободы: а) N = 2; б) N ^ 3.
отделены друг от друга. В этом случае можно говорить о вечной
устойчивости системы, если ее начальные условия находятся в области
устойчивости. При 3 это не так. Торы пересекаются в фазовом пространстве.
Следовательно, пересекаются и резонансные торы. Поскольку все резонансные
торы имеют сепаратрисы, "одетые" по крайней мере экспоненциально узким
стохастическим слоем, то возникает стохастическая паутина, пронизывающая
все фазовое пространство. К этому следует добавить, что
95
если рассмотреть все возможные резонансы во всех порядках теории
возмущений, то они образуют всюду плотную систему. Таким образом, в
фазовом пространстве существует очень тонкая сеть стохастических каналов,
по которым система может уходить достаточно далеко от начального
состояния, что и составляет содержание диффузии Арнольда, понятие о
