Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Qh = kv - iOft = (c)ft (v),
(3.6)
где
Qk = kx - akt, Vh = (e/m)Eh, v = x. (3.7)
Введем функцию распределения
/ (v, t) == /(у, flhiT 0Ла, ..*),
где N - число гармоник в спектре волнового пакета. Уравнение Лиувилля для
/(у, О, t) имеет вид
2+2*#+
h н
+ Т 211'* ехр + v-b ехР % - (3*8)
Так же, как и в предыдущем параграфе, запишем разложение
117
f(v, ft, t) в ряд Фурье по О:
/ (v, Ф, 0 = 2 l/n) {v, t) exp [i (п1 ft)] +
(n)
+ f~n) (vx t) exp [- i (n, fl)]} r (3.9)
где
f~n)= (/"')*! ("" = "AX+ Mfta + ... + nNfthN
и символ (n) обозначает набор целых чисел (nt, n2, ..., nN). Приближение
хаотических фаз в данном случае выглядит следующим образом:
fn)(v, ft, t = 0) = 0, пФ0. (3.10)
Условие (3.10) означает, что в начальный момент времени функция
распределения не зависела от фаз Ф п, следовательно, не зависела от
координаты х.
Будем теперь считать, что условие (3.5) выполнено для всех к. Тогда можно
построить кинетическое уравнение, описывающее движение частицы, при
произвольных начальных условиях. Заметим прежде всего, что в уравненпях
движения (3.6) переменная v играет роль переменной действия. Поступим
аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе. Введем
огрубленную функцию распределения
2Л 2Я
F (V, t) = </""(*, *)> :_ * j dfthi . . . j dfthyf0) (v, t). (3.11)
0 0
Возмущенная часть оператора Лпувилля согласно (1.2) и (3.8) имеет вид
= - -у 217* ехР (id*) + V~* ехР ? <3,12>
k
и не зависит явно от t. Отсюда, аналогично (2.7),
2Я 2Я
<m|L1|0> = -^J dfthi... J ddftjvexp[-=
о о
-т2о,"Ч-. + ',чЦ-)" <3-13)
h
Подставляем (3.12), (3.13) в уравнение (2.32) и полагаем в нем р = 0 (так
как L, не зависит явно от t). Дифференцирование полученного выражения по
t дает
118
где индекс (1) при / означает, что все nh= 1. Мы намеренно опустили ряд
выкладок, полностью идентичных тому, что делалось в предыдущем параграфе,
п обращаем внимание лишь на изменения, связанные с наличием N различных
фаз
Произведем оценку корреляторов, входящих в (3.14). Для этой цели
исследуем качественно некоторые свойства выражения
G (t) = 2 (Ak ехр (icoftf) + ехр (- iaht)). (3.15)
k
Пусть для простоты сумма по к распространяется от к = 0 до некоторого
достаточно большого ктах. Удобно начать с простого случая:
Ak = const s= А,
W"n = пк0С = nQ1 /Стах 001
где п - целое число. Тогда пмеет место соотношение
(3.16)
G(t) = A 2 exv(tnQt)=AT 2 6(i -лГ). (3.17)
Jls-ОО п=-оо
Равенство (3.17) легко устанавливается с помощью формулы суммирования
Пуассона. Рассмотрим, к чему приводят различные отклонения от условий
(3.16). Конечная ширина пакета в
(3.15) размывает б-функции в (3.17). Из соотношения неопределенности
следует, что вместо б-фукций в (3.17) будут стоять 6-образные фупкцпп с
шириной
Д* ^ (СО шах Йщ1ц) ,
где (Ошах частота при к ~~ /Стах и (Omin - соответственно частота при к =
&min. Свойство б-образности временных импульсов, входящих в G(f),
определяется условием достаточно большой ширины волнового пакета по
частотам:
Д*со*<1. (3.18)
Очевидно, что условие (3.18) выполняется только в низкочастотной части
спектра. Если дисперсия частот мала, т. е. мала величина д,гаК/йкг, то
можно считать, что
?2 " Дк, (3.19)
где Д/с - характерное расстояние между волновыми числами соседиих
гармоник пакета. Слабая зависимость Q от ft создает слабую
неэквпдистантность по времени б-образных импульсов. Наконец, если
зависимость АК от к мала, то это приводит к слабой модуляции амплитуд б-
образных импульсов. Таким образом, если отклонения от условий (3.16)
невелики в указанном выше смысле, то с хорошей точностью для волнового
пакета (3.15) можно воспользоваться аппроксимацией (3.17), в которой
величина Q имеет смысл (3.19). Использование формулы (3.17)
119
вместо (3.15) означает также возможность свести непрерывные по времени
уравнения движения к отображениям, подобно тому, как это делалось в гл.
4.
Приведенные рассуждения позволяют воспользоваться формулой (2.33) и
записать
^ехр |/ j (оЛ (v) ^ СехР - ^
\
где
т,
с ?2Л1пЯ
ехр (- t/тс) ехр [tojfc (v) (3.20)
(3.21)
п Q* определено выражением (3.3). Аналогично,
ОО
2/т,
<"<<=<>" (1/тс)* + (c)J (f)
о
2/т,
(1/тс)2 + (сой-Ь)а
= 2яД о)А - kv'j. (3.22)
Из (3.20) следует, как н ранее, что при больших t член первого порядка по
возмущению в уравпенпн (3.14) исчезает и оно переходит в кипетпческое
уравнение
(3.23)
описывающее диффузию частицы в пространстве скоростей и известное в
теории плазмы как квазилинейное уравнение [91, 107] (ком. 7).
Из приведенных выше рассуждений можно получить одно следствие, которое
связано с некоторым общим свойством динамики частицы в области
стохастичности. В § 5.3 при аиализе уравнений (3.1) или (3.6) уже
отмечалось, что потенциал каждой из плоских волн создает для частицы на
фазовой плоскости область, соответствующую области захвата в нелинейный
резонанс. Условие стохастичности (3.5) означает просто условие перекрытия
таких областей. Теперь заметим, что характерное время прохождения
