Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 41

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 102 >> Следующая

основного кинетического уравнения н принцип ослабления корреляций при
выводе уравнения больцмановского тппа [101] (ком. 2). Условие,
необходимое для получения основного кинетического уравнения, после ряда
модификаций приобрело форму, которую сейчас принято называть приближением
хаотических фаз (ПХФ). Мы остановимся на нем подробнее в следующем
параграфе (ком. 3).
Наиболее полное развитие получил метод Боголюбова, основанный на
построении иерархической цепочки зацепляющихся уравнений для функции
распределения, следующий из уравнения Лиувилля [101, 102, 2, 3, 6, 111.
Этот метод, известный под названием метода Боголюбова - Борна - Грина -
Кирквуда --Ивона (ББГКИ), заканчивается выводом кинетического уравнения
больцмановского типа. Используемый в нем принцип ослабления корреляций
заключается, грубо говоря, в том, что частицы, находящиеся достаточно
далеко друг от друга, должны совершать нескоррелированные движения. Этот
метод не будет рассматриваться далее, однако на одном из вопросов полезно
остановиться.
Предположим, что нам тем или иным способом удалось установить, что
движение частиц системы является движением с перемешиванием в фазовом
пространстве. Тогда можно, исходя непосредственно из уравнений движения,
получить ослабление корреляций. Действительно, пусть, например, частица
очещ>
105
Рис. 6.1. Различные типы траекторий в биллиарде с пеподвпжпыми
рассеивающими областями.
малых размеров движется в плоской среде, состоящей из частпц большой
массы п большого размера, имеющих форму круглых дисков радиуса R.
Рассеяние точечных частиц на практически неподвижных дисках с грапицей
отрицательной кривизны
(рис. 6.1) соответствует движению с перемешиванием (биллиард Синая).
Опишем сначала качественно некоторые характерные особенности динамики
рассеивающихся частиц.
Будем считать для простоты, что рассеивающие области образуют решетку с
периодом I > R. Это означает, что большинство частиц испытывает
рассеяние, пройдя путь длиной
r0 ~ I ¦ 1/R = Г/R
(длина пробега). Соответственно, время между столкновениями равно
U = rJv = l4Rv. (1.7)
Такие частицы рассеиваются в основном на малые углы ~R/l, и характерный
параметр растяжения угла траектории О с некоторой осью можно записать в
виде
K-1+R/1 (1.8)
(траектория 6 на рис. 6.1). Соотношение (1.8) означает в данном случае
следующее. Пусть две траектории с близкими начальными условиями после
рассеяния имели угол ДО0 между траекториями. Тогда после следующего
рассеяния угол между этими траекториями имеет порядок
Де,~ЯДд". (1.9)
После re-го рассеяния из (1.9) получаем
ДО" ~ ЯпД(c)о ~ ДО"еп !п \
Отсюда и из (1.8) следует, что инкремент неустойчивости равен
------J-lntf,
t.
или, с учетом (1.7), (1.8),
г8/яг _ i R/i ~ v V*
Тс
(1.10)
Время тс имеет также смысл времени расцепления корреляций фаз траекторий
типа б на рис. 6.1, которые будем называть
106
нормальными. Нетрудно видеть пз выражений (1.7), (1.10), что время
расцепления корреляций и время между столкновениями связаны соотношением
Аналогично можно записать соотношение и для расстояний между частицами.
Из (1.10) следует, что длина траектории ге, на которой происходит
расцепление корреляций фаз, имеет порядок
Таким образом, ослабление корреляций между частицами с нормальными
траекториями происходит на длинах гс.
Приведенные рассуждения показывают, что анализ перемешивания приводит к
принципиальной возможности освободиться от гипотезы об ослаблении
корреляций при выводе цепочки уравнепий ББГКИ. Однако эта возможность до
сих пор не реализована. Положение несколько осложняется существованием
еще двух групп частиц с динамикой, отличной от описанной. Первая из них
включает частицы, испытывающие сильное рассеяние. Их доля мала п имеет
порядок R2/l2. Для таких частиц тс ~ t0. Вторая группа частиц имеет
траектории, близкие к периодическим (траектория а на рис. 6.1). Эти
частицы будем называть захваченными. В течение достаточно длительного
времени траектории захваченных частиц не перемешиваются. Доля захваченных
частиц имеет порядок R/1, и их кппетпческое описание должно иметь
совершенно иной характер, чем описание нормальных частиц.
Значительно проще обстоит дело с выводом основного кинетического
уравнения. Анализ свойств перемешивания динамической системы можно
непосредственно включить в схему вывода кинетического уравнения. Прп этом
мы сможем не только выяснить условия, при которых кинетическое описание
системы становится возможным, но и получить это описание прп произвольных
начальных условиях, не используя никаких априорных гипотез типа
приближения хаотических фаз (ПХФ). Такая программа была реализована в
работах [83, 106, 141, и мы переходим к ее изложению.
§ 6.2. Кинетика нелинейного осциллятора
Теория возмущений для уравнения Лиувилля. Память о начальных условиях.
Формальное содержание ПХФ. Способ огрубления функции распределения.
Влияние перемешивания. Шкала времен
Для анализа того, как возникает кинетическое описание системы в области
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed