Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
которой вводилось в § 1.4.
Остановимся на следствиях, непосредственно вытекающих из сказанного.
1. Перекрытие резонансов означает объединение их стохастических слоев
и разъясняет причину, по которой критерий перекрытия резонансов
соответствует критерию стохастичности.
2. Границы стохастических слоев должны иметь очень сложную
нерегулярную структуру. Эта структура влияет на форму инвариантных торов
в окрестности границы. Поскольку разрушенные торы расположены в фазовом
пространстве всюду плотно (как множество рациональных чисел), то
инвариантные торы всегда будут испытывать на себе влияние близко лежащих
к ним стохастических слоев. Это должно привести к тому, что, вообще,
неразрушенные инвариантные торы должны иметь столь сложную форму, что она
не может быть представлена в виде аналитических добавок к невозмущенной
форме тора. В этом и раскрывается смысл теоремы Пуанкаре об отсутствии
аналитических интегралов движения при сколь угодно малых возмущениях. Те
аналитические интегралы движения, которые находятся в первом порядке
теории возмущений, например, при нелинейном резонансе, являются всего
лишь грубым (но практически вполне удовлетворительным) приближением.
3. Разрушение инвариантных торов эквивалентно разрушению
соответствующих интегралов движения. Поэтому можно говорить о
стохастическом механизме разрушения интегралов движения. Приведем пример
такого разрушения, полученный численно Хеноном и Хейлесом [881. Ими был
рассмотрен гамильтониан, описывающий два связанных осциллятора:
Н = У2 (х2 + у2) + Уа (х2 + у2) + х2у - Ч3уа.
Численный анализ движения, определяемого этим гамильтонианом, был
проведен с помощью отображений Пуанкаре следующим образом. На плоскости
(у, у) при ж = 0 отмечались точки траектории при определенном значении
энергии Н = Е. При достаточно малых Е эти точки группировались в
семейство замкнутых кривых (рис. 5.4, а), что соответствует существованию
дополнительного (к энергии) интеграла движения. При Е> 1/12 часть
замкпутых кривых начинает распадаться. На рис. 5.4, б приведены
отображения траекторий при ? = 0,125. Часть траекторий становится
стохастической, а область островков устойчивости еще достаточно велика. С
дальнейшем увеличением Е
96
островки тают, и при ? = 0,1667 почти весь фазовый объем становится
областью стохастического движения (ком. 3).
В заключение этого параграфа приведем два примера, являющиеся хорошей
иллюстрацией образования большой области сто-хастичности при слиянии
различных стохастических слоев в ре" зультате перекрытия резонансов.
Рис. 5.4. Фазовые траектории в модели Хенона - Хейлеса: а) Е = 0,0833; б)
Е = 0,125.
Рассмотрим сначала движение частицы в поле двух плоских волн [841:
тх = -еЕ" sin - eEt sin (ktx - vt),
(3.1)
где поле Е0 соответствует невозмущенному движению, а поле Ei -
возмущению. Уравнение (3.1) записано в системе отсчета, движущейся с
основной волной. Задача (3.1) возникает в связи с различными приложениями
в физике плазмы. Обозначая
перепишем (2.1) в виде
I + aft sin 5 = - e(c)o sin
(М-
(3.2)
Уравпенне (3.2) аналогично тому, что получается из гамильтониана (1.1).
Отличие связано с фазовым слагаемым kt%/k0 в возмущении, которое, однако,
никакой существенной роли не играет [84]. Поэтому в зависимости от
величины v/a>0 мы получаем различные по ширине стохастические слои в
окрестности сепаратрисы. Если устремить
е 1, v/(c)o -*¦ 1, (3.3)
то можно ожидать, что произойдет полное разрушение всех ячеек
сепаратрисы, т. е. толщина стохастического слоя станет порядка
7 Г. М. Заславский 97
ширины самой сепаратрисы <о0. В этом случае происходит перекрытие двух
резонансов, причем движение в каждой из плоских волн в отдельности можно
рассматривать как нелинейный резонанс.
Пусть теперь частица двпжется в поле волнового пакета [84]:
х = elm 2 Ek cos (кх ¦ к
Обозначим
(0kt).
(3.4)
x = v, -Ek = Vkt Ofc = fo -<oftf, (c)л (v) - kv- (c)ft.
Тогда уравнение (3.4) можно записать в видо системы
v = 2 У к cos к
(V),
(3.5)
которая совпадает (с точностью до обозначений) с (2.1). Переменные (v, Ф)
являются канонически сопряженными, a v играет роль действия. Обратим
внимание на то, что система (3.5) является простейшей точной системой,
описывающей движение в поле произвольного числа резонансов. Фазовая
структура отдельного резонанса соответствует маятнику и описывает
движение в поле одной выделенной волны и в пренебрежении влиянием всех
остальных волн (рис. 5.5).
Запишем условие перекрытия резонансов. Найдем аналогично (2.6) ширину
резонанса. Имеем для максимального изменения действия в окрестности
одного резонанса:
Рис. 5.5. Фазовые траектории частиц в поле волнового пакета из N волн
аналогичны траектории частиц при N резонансах.
(v)'
Учитывая, что До = \da/dv\Av, находим
Дш, (г) ~ (г, |),Л - (И',)1'* = (?*?")W. (З.в)
Именно этот результат ? должен был получиться, так как ширина резонанса
по частоте должна совпадать с частотой фазовых колебаний, которая в
