Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 34

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 102 >> Следующая

xcosxt', (1.3)
dlfg са(1)дх ' ' '
здесь использовано то обстоятельство, что мощность Й равна произведению
силы e(dV/dx) cosvt на скорость х. Уравнение для фазы ft имеет вид
(r)==7Г = а(1) + гЪ7C0Svf- М
Частота (c)(/) обладает следующим свойством (см. § 1.2):
lim о (/) - сэ0, lim о (/) = 0, (1.5)
1->0 1-*1с
где /с - значение действия па сепаратрисе, соответствующее энергии Нс =
coq.
Будем рассматривать влияние возмущения на траектории, лежащие в
окрестности сепаратрисы, т. е. будем считать выполненным условие
1/ЛГ-ш(/)/ю.<1, (1.6)
где величина N введена в (1.2.9). Для того чтобы перейти от уравнений
(1.3), (1.4) к дискретному преобразованию, необходимо вспомнить
особенности движения вблизи сепаратрисы, приведенные в § 1.2. Частица
пролетает потенциальную яму за время порядка 1/со" н очень долго
находится в окрестности точек поворота (1/со "1/со0). График зависимости
х от времени в окрестности сепаратрисы приведен на рис. 1.3. Отношение
расстояния между импульсами к их ширине равно ЛГ"1. Наличие в уравнении
(1.3) величины х позволяет построить преобразование от импульса к
импульсу точно так же, как это делалось в § 4.1 для уравнений (4.1.5).
Между импульсами с экспоненциальной точностью i = 0. Поэтому легко
записать, интегрируя (1.3):
/ = /
^dt^x cosvt, (1.7)
"(/) . д/
где интеграл берется по области Дt, включающей в себя ширину импульса
скорости. Это одновременно означает, что интервал At привязан к
определенному моменту времени, когда i^O. По этой причине удобно ввести
новую фазу <р внешней силы:
Ф = V. (1.8)
Замена аналогична введепию фазы колеблющейся стенкп в момент столкновенпя
с частицей в модели Улама (§ 3.1). Интегрп-
88
рование (1.8) приводит к преобразованию
Ф = Ф +
ПУ
WY
(1.9)
Уравнения (1.7), (1.9) образуют искомое преобразование, которое есть не
что иное, как несколько усложненный вариант универсальной модели.
Поскольку е мало, то так же, как и ранее, можно произвести разложение в
(1.9):
JIVCi) /~т
" (7) (О2 (/)
Отсюда для параметра растяжения имеем К =
л\ _ nve I ш' I п 6<р | из
:о_/)_Ф+"+*":; Гласит.
Г)4 ' (r) (Л (О3 (/) J4
(1.10)
где обозначено
С =

At
sin vf
(1.11)
Для оценки С рассмотрим разные случаи соотношения между v п со о- Пусть
сначала
v/(c)o^l. (1.12)
Заметим, что характерное время изменения величин х и х на интервале At
равно я/ю0. Отсюда
С ~ VatoAt ~V ~ Нс. (1.13)
Подстановка (1.13) в (1.10) дает
nvect"21 to' |
К

Из формулы (1.2.8) легко получить
, ,. I da> I I d<o I dll
I(r) 1= 37 = 2я|^Г =м
dH
о* /я(c) \
^!expl-J'
Отсюда следует для К:
v v / (r)o\ v яе
К ~ е - ехр я - I = е - г-7?-----------------иг-
(1.14)
(1.15)
Таким образом, область стохастичности К ^ 1 имеет вид, согласно (1.15),
1я'-яие^.
^ (а.
И,
(1.16)
с "О
Рассмотрим теперь еще одну (последнюю) возможность очень больших частот
возмущения:
v '> Оо* (1.17)
Под интегралом в (1.11) стоит произведение быстро осциллирую-щей функции
sin vt на медленно меняющуюся xdV/dx. Учитывая это, получаем [85] *)
Итак, всегда, т. е. при любых е и v, в окрестности сепаратрисы образуется
область перемешивающихся траекторий - стохастический слой. Безразмерная
ширина стохастического слоя имеет степенную малость ev/<a0 при условии
(1.12) не слишком больших частот внешней силы и экспоненциальную малость
при условии (1.17) высокочастотного возмущения.
§ 5.2. Особенности образования стохастического слоя
Качественный анализ области разрушения сепаратрисы. Разрушение
нелинейного резонанса. Разрушение магнитных поверхностей
Весь ход приведенных выше вычислений показывает, что усложнение
зависимости возмущения от времени может лпшь увеличивать ширину
стохастического слоя. Особая роль в разрушении принадлежит наличию точек
гиперболического типа на фазовой плоскости, через которые проходит
сепаратриса. Именно в окрестности этих точек происходит очень длительная
"остановка" частицы. Поэтому период колебаний становится столь большим
(частота стремится к нулю), что даже малые возмущения могут сильно
возмутить траекторию. Рассмотрим, как приведенные соображения реализуются
формально. Для разнообразия оценим область разрушения сепаратрисы из
условия перекрытия резонансов [83, 14].
Запишем уравнения движения в виде
Аналогично (1.16) получаем для области стохастичности:
(1.18)
H = &F (х, t) = ею0 S {Vn ехр [i (геО - vf)] +
П
+ V" exp [i (raO + vt)] + к. с.},
(2.1)
д = ю(Я) + 0(е).
Условие резонанса имеет вид
тт(Нп) = v.
Отсюда находим расстояние между резонансами
(2.2)
(2.3)
¦) Более точное вычисление С си. в [84, 24].
90
Ширину резонанса получим с помощью следующей простой оценки. Выделим в
правой части (2.1) только резонансный член:
Й ~ е<о"У" exp [i(nfl - v*)] + к. с. (2.4)
Интегрируем (2.4) по времени, учитывая, что величина (пЪ - \t) = nb - \fa
О
в силу условия (2.2). Имеем
Л ji еОрУп е<о"Уп _е<у"Уп _
~ Д (лее - v) пДсо vA<b 1 ( • )
где в знаменателе стоит, как обычно, расстройка частот вследствие того,
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed