Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
хорошо (см., например, [1-13]). Тем не менее огромное число монографий и
работ, посвященных кинетическому описанию вещества, связаны не только с
различными конкретными приложениями, но и с изучением принципиальных
вопросов такого описания, внимапне к которым со стороны физиков не
ослабевает со временем. Причиной этого является особое состояние проблемы
кинетического уравнения. В то время как Больцману пришлось в трудных
условиях отстаивать свою теорию, сейчас ни у кого нет сомнений в
справедливости кинетического описания движения п в справедливости
известных кинетических уравнений. Проблема состоит в том, чтобы выяснить,
когда и при каких условиях (не формального характера) этими уравнениями
можпо пользоваться.
Результаты современной эргодической теории в значительной степени
способствовали прояснению проблемы. Изложению этих и близких к ним
вопросов посвящеиы эта и следующая главы.
§ 6.1. Принципы кинетического описания
Сокращение описания. Два способа сокращения. Основное кинетическое
уравиеиие. Уравнение больцыановского типа. Идеи Боголюбова. Приближение
хаотических фаз и принцип ослабления корреляций
Исходной точкой для получения кинетического уравнения является уравнение
Лиувилля, которое запишем в виде
i>nPvV^Prl-^) = tf{puK (и)
где оператор L называется оператором Лиувилля и определяется
103
через скобки Пуассона:
<'-2>
Оператор Лпувилля L является линейным п эрмитовым и легко обобщается на
квантовый случай заменой скобок Пуассона на коммутатор:
iftg = [tf,p] = Zp, (1.3)
где р -матрица плотности. Функция распределения /(р" <?,; ... ...; рк,
qs), зависящая от переменных N частиц, называется ДО-частичноп.
Статистический подход заключается в том, что мы отказываемся пользоваться
полной пнформацией о движении системы, содержащейся в уравнениях (1.1)
или (1.3), и хотим упростить эти уравнения ценой потери части информации
о системе. Соответствующую процедуру обычно называют сокращением
описания. Можно указать два способа сокращения описания и огрубления
функции распределения. Первый из них связан с уменьшением числа
переменных, относящихся к каждой частице. Например, вместо функции /(pt,
qs, ...; рк, qs) вводится описание системы с помощью функции
F(pt, ..., рк) = "/(/>!, д,; ...; рк, д*)", (1.4)
где скобки "..." обозначают формальный оператор огрубления. Новая функция
распределения F является также /V-частичной. Кинетическое уравненпе для F
(оно будет приведено далее) является линейным относительно F и называется
основным кинетическим уравнением (master equation). Его лнпейность
является следствием линейности исходного уравнения (1.1) и линейности
оператора огрубления (1.4). Другой способ сокращения описания связан с
представлением всех и-частичных функций распределения через m-частичные
(т < п) функции распределения. Потеря информации в данном случае связана
с исключением из рассмотрения корреляций между частицами, образующими па
какое-то конечное время кластер из группы в т<п частиц. Примером такого
огрубления является использованное Больцманом представление двухчастичной
функции распределения через одпочастичиые:
/(pi, qu Рг, <7г) = F(pi, qdFipi, q2). (1.5)
Операция огрубления типа (1.5) называется расцеплением и является
нелинейной. Поэтому получающееся кинетическое уравнение (его обычно
называют уравнением больцмановского типа) имеет вид
6F/dt = St {F, F), (1.6)
где правая часть называется столкновительным членом, а оператор St
является нелинейным функционалом от F (ком. 1).
104
Как правило, вывод кинетического уравнения сопровождается априорной
гипотезой весьма специфического типа. Дело заключается в том, что уже
давно приблизительно ясно, какую структуру должно иметь кинетическое
уравнение (например: диффузионного типа, типа уравнения баланса или
больцмановского типа и др.). Эта структура навязана в значительной
степени вероятностным характером процессов, которые мы желаем описать с
помощью кинетического уравнения. Поэтому, в определенном смысле, задача
может быть сформулирована "от ответа". Исходя из уравнения Лиувилля, мы
можем прийти к кинетическому уравнению, избавившись от некоторых членов,
благодаря которым динамический характер движения существенно отличается
от случайного. Поэтому вывод кинетического уравнения обычно
сопровождается формулировкой в той или иной форме некоторого принципа или
априорной гипотезы, формальная цель которой удалить "лишние" члены.
Фактическое содержание подобных гипотез связано с введением в
рассматриваемую систему необходимой доли случайности, плн хаоса.
Фундаментальные достижения на пути получения кинетических уравнений как
больцмановского типа, так н типа основного уравнения были получены
Боголюбовым [99-102]. Им были разработаны совершенные формальные схемы
получения кинетических уравнений п сформулированы в строгой форме те
предположения, которыми следует дополнить метод. К последним относятся
условия на спектральные свойства возмущения [99, 100] при выводе
