Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 35

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 102 >> Следующая

что резонанс имеет ширину До. Учитывая, что
До = | daldH | АН,,
имеем из (2.5)
М^|&1Г м
(сравните это выражение с (1.3.13)). Из (2.3) и (2.6) находим условие
перекрытия резонансов
<2-7>
До сих пор мы нигде не пользовались близостью к сепаратрисе. Бели это
так, то в разложении Fix, t) в ряд Фурье по Ф в (2.1) имеется порядка N
гармоник с приблизительно одинаковыми амплитудами (см. § 1.2 и рис. 1.4),
где N то же, что в (1.6). Отсюда
<2*8>
Ограничение n<N соответствует согласно (2.2) условию <а,. Подстановка
(2.8) в (2.7) дает окончательно
<2-9>
Все индивидуальные свойства системы заключены только в зависимости о)(Я).
Однако в окрестности сепаратрисы эта зависимость также может быть
выражена в некоторой универсальной форме. Остановимся подробнее на
анализе функции в>(Н) вблизи сепаратрисы.
Как известно [20], частота определяется выражением
±=*(?-----------Ё?------ (2.Ю)
ш 2я j [2?Г - V (*)11/*
Обозначим
Д = \H-HJ "Яс. (2.11)
91
Рассмотрим траектории вблизи сепаратрисы, т. е. при условии
(2.11). Представим знаменатель в (2.10) в виде
[2 Н -V(x)]Ui ~ \.(х - ха)(х - хь)(.х - х1)..Лх - хп)У1\(х), (2.12)
где х" п хь - точки поворота, между которыми совершается реальное
финитное движение, xt, ..., хп - все другие точки поворота, которые
расположены вблизи, скажем, ха, %{х) - функция,
не имеющая нулей в области двржения. Основной вклад в (2.10) дают
полюсные зависимости, так как вблизи сепаратрисы имеется по крайней мере
двукратное вырождение корней (2.12): п>1. Учитывая сделанное замечание,
нетрудно получить из (2.10),
(2.12) при условии (2.11):
1 ! flntfc/Д, п = 1,
^ ~ % I (Д/Яе)4"-1*'*, п> 1.
Отсюда следует
| I f со2/<о0Д, п = 1,
|5я|~1 со/Д, л>1.
Подстановка (2.13), (2.14) в (2.9) дает для ширины ст<?хастиче-ского слоя
по энергии:
А/Не ^ (ev/(c)0)2/n+1, п> 1. (2.15)
При п - 1 эта формула совпадает с (1.16). При п-+оо ширина области
стохастичности стремится к единице *).
Стохастическое разрушение сепаратрисы и образование в ее окрестности
стохастического слоя приводят к одному важному следствию. При
исследовании нелинейного резонанса (§ 1.3) было показано, что под
действием возмущения образуется сепаратриса (см. рис. 1.8, 1.9). Если
учесть отброшенные нерезонансные члены, то они должны разрушить
сепаратрису нелинейного резонанса. Поскольку частота нерезонансных членов
велика по сравнению с частотой фазовых колебаний, то ширина
стохастического слоя будет экспоненциально мала. Таким образом,
нелинейный резонанс всегда "одет" узким стохастическим слоем.
В заключение этого параграфа остановимся кратко на проблеме разрушения
магнитных поверхностей, которая непосредственно евязапа с анализом
появления стохастичности в окрестности сепаратрисы. Задача возникла в
связи с исследованием возможности создания замкнутых магнитных ловушек
для удержания плазмы и в дальнейшем переросла то узкопрактическое
содержание, которое первоначально вкладывалось в задачу (ком. 2).
Физическая сторона проблемы заключается кратко в следующем. В
определенном приближении движение заряженных ча-
*) Читателю предлагается в виде упражнения рассмотреть возмущение v > ш0
методом перекрытия резонансов. В этом случае резонанс происходит при п "
N0 и пользоваться оценкой (2.8) нельзя.
92
(2.13)
(2.14)
стиц плазмы, помещенной в магнитное поле, происходит по спиралевидным
траекториям, ось которых совпадает с некоторой силовой линией магнитного
поля. При искажении магнитного поля спираль траектории следует за силовой
линией так, как будто она прикреплена к ней. Поэтому для удержания частиц
илазмы следует создать по крайней мере такую конфигурацию магнитного
поля, чтобы его силовые линии занимали ограниченный объем. При
определенных идеальных геометриях магнитного поля силовые линии
наматываются на некоторую поверхность, называемую магнитной поверхностью.
Эти поверхности соответствуют инвариантным торам динамических систем.
Однако реальные конфигурации всегда отличаются от идеальных построений, и
возникает задача об условиях устойчивости и разрушения магнитных
поверхностей, которая полностью идентична задаче об устойчивости и
разрушении инвариантных торов гамильтоновых систем.
Формальная сторона вопроса выглядит следующим образом. Пусть задано
магнитное поле В (Вх, Ву, Bz), удовлетворяющее уравнению
divB = 0.
Уравнение силовых липий магнитного поля определяется из системы
dx __ dy __ dz
Вг'
которую перепишем в виде
dx вх (*" V' dy ву (*' У"г)
dz ~ Вг (х, у, z) ' dz В2 (х, у, z)'
(2.16)
Предположим, что задача обладает некоторой симметрией и существует точный
интеграл
Н = Н(х, у, z). (2.17)
Уравнение (2.17) определяет семейство поверхностей z =
- z{x, у, Н), называемых магнитными, на которые наматываются
магнитные силовые линии. Введя переменную "время" t с помощью замены
dz/dt = Bt(x, у, z), перепишем (2.16) в виде
^ = Вх (х, у, г (я, у, t)), % = (х, у, z (х, у, t)). (2.18)
Можно показать, что при наличии интеграла (2.17) (обычно это магнитный
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed