Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим выражение
2Л
91 (г, tn | s, 0) = ^ j* d00 ехр {i (rftn - s0")} = о
2Л
= 2л I d(r)° ехр + г<лТ * rK sin - •*•". (1Л6)
о
где tn = пТ, а г и s - положительные целые числа. Воспользуемся известным
разложением
ОО
ехр (iz sin 0) = 2 Jm (z) exp (imO),
m=-oo
где Jm(z) - функция Бесселя. Подставляя это выражение в (1.15)
79
и продолжая итерационный процесс, находим я (Г, *" | s, 0) = ехр (йчоГ) 2
(-l)m Jm (гк) Я (r-m, tп_х к 0) =
т=-оо
= exp(irnaT) 2 2 ... ? (~ 1)ж'+ж"+--+ж" X
т^-оо т2=-оо тп=-оо
X ехр [- йоГ (тх + т2 + ... + mn)\'Jmi[rK]-Jmi[(r- К\ ...
• •. Jтп[{г-Щ-т2-' •тп)Я]-5г (г-тх-тг-..mn,0|s, 0).
Воспользуемся тривиальным равенством 5?(т, 0In, 0) = 6m" и асимптотикой
функций Бесселя при К " 1:
Jm(pK) оо (рК)-1'2.
Это дает
Жг, ijs, 0) о" А'""/2 ехр iinmT) =
= ехр (-fn/тс) ехр (inraT), хс = 2Т/\йК. (1.17)
Формула (1.17) аналогична коррелятору в случае преобразования растяжения
(§ 2.1), однако время расцепления корреляций фаз те отличается в два
раза.
Что может измениться в случае более общего преобразования
(1.7)? Очевидно, что вместо уравнения (1.15) возникнет уравнение типа
Ф,+.-Ф" + ш7, + Д*"". (1.18)
Поскольку ~ 1, то нетрудно получить разложением в тригонометрический ряд,
что
тс = const • 771п К, (1.19)
где величина const ~ 1 и определяется видом g(ti). Естественно, что
приведенный способ оценки справедлив при К > 1, когда можно пренебречь
островками устойчивости.
§ 4.2. Критерий перекрытия разонансов (критерий Чирикова)
Взаимодействие резонансов. Перекрытие резонансов. Связь с условием
локальной неустойчивости. Роль числа резонансов
Рассмотрим уравнения (1.5) универсальной модели с иной точки зрения,
снова полагая для простоты V = V(d) = = - (/о/Г) cos д. Используя
разложение в ряд Фурье
Т 2 b(t - kT) = 2 ехр (imvt), v = 2п/Т, (2.1)
bs-OO Wlsss-OO
80
перепишем уравнения (1.5) в виде 00
7 = ie/0v 2 {exj>[i\mxt + Ф)] - exp[i(wiv? - 0)]},
m=-oo
b =- to (/).
(2.2)
С такой системой мы уже встречались в § 1.3 при анализе ее частного
случая - изолированного нелинейного резонанса.
Все возможные резонансы в уравнениях (2.2) определяются в первом
приближении уравнением
ф - mv = 0 (т > 0), или
со(1т) = т\ (т> 0), (2.3)
где через 1т обозначен корень уравнения (2.3). Обозначим -фт = ft - mvt
и рассмотрим траектории системы в окрестности каждого нз резонансных
значений /т, не обращая внимания на все остальные резонансы. Тогда в
окрестности каждого 1п получится фазовая картина, изображенная на рис.
1.8. Представим себе на время, что все значения 1т расположены достаточно
далеко друг от друга. Тогда фазовые траектории системы (2.2) можно
представить
на плоскости (/, if) так, как это сделано на рис. 4.2.
Величину
6/т = /т+1 - /т (2.4)
будем называть расстоянием между резонансами по действию. Ей можно
сопоставить расстояние между резонансами по частоте: ^
6o)m = co(/m+i) - (c)(/т). (2.5)
Отсюда условие достаточно большого расстояния между резонансами означает,
что
6/т"Д/т, (2.6)
где Д/т определено в (1.3.14) как ширина сепаратрисы, порождаемая
нелинейным резонансом. Итак, условие
(2.6) означает, что на рис. 4.2 сепаратрисы не перекрываются. Тогда можно
высказать следующие качественные соображения: в зависимости от начальных
условий система попадает в область того или иного резонанса или в область
между резонансами. В первом случае достаточно ограничиться в первом
приближении влиянием только одного основного резонанса, а второй случай
может быть
6 Г. М. Заславский 81
-Щ
П/2 /Зп!$
Рис. 4.2. Неперекрывающая-ся система резонансов.
рассмотрен в рамках нерезоиансного приближения. Обоснование этих
соображений можно найти в теории Крылова - Боголюбова- Митропольского
[18, 19]. Таким образом, условие <2.6), или эквивалентное ему:
б (От " А(От, (2.7)
где Лео определено в (3.1.15), означает слабое взаимодействие резонансов.
Приведенные определения подводят пас к вопросу о том, что будет
происходить с системой, когда резопансы начнут сближаться и
соответствующие им сепаратрисы на рис. 4.2 перекро-ются? В этом случае
можно говорить о сильном взаимодействии резонансов.
Введем нетривиальный параметр
<2-8>
определяющий степень перекрытия (или степень взаимодействия) резонансов.
При
К < 1 (2.9)
это взаимодействие мало согласно (2.6), (2.7), а при
1 (2.10)
взаимодействие резонансов велико. _
Параметр перекрытия резонансов К был введен в 1959 г. Чириковым [74],
который высказал гипотезу о том, что при условии (2.10) движение системы
запутывается сложным образом в резонансах и должно быть похожим на
стохастическое. Иначе, при выполнении (2.9) движение должно быть
устойчивым в соответствии с теоремой КАМ, а при К ^ 1 развивается
локальная неустойчивость. Впоследствии критерий перекрытия резонансов,
как критерий стохастичности, был подтвержден разнообразными численными и
непосредственно экспериментальным анализами (ком. 2).
Наша ближайшая цель будет заключаться в том, чтобы найти связь между
