Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
данном случае равна частоте малых колебаний в поле одной плоской волны
(то же имело место и в (3.2)).
Расстояние между соседними резонансами определяется значениями волновых
чисел к, входящих в волновой пакет. Пусть Дк - характерное расстояние
между ближайшими значениями к. Тогда расстояние между резонансами равно
6(c)* = (Оц+дцЫ - <ak(v) - Д k(v - d<aK/dk)
и критерий стохастичности принимает вид
(е/т) кЕк
К =
Дш/,
6ш.
(ДА)2 | v - d(i>k/dk |2
1. (3.7)
Пусть критерий (3.7) выполняется для всех роли в пакете, имеющих фазовые
скорости dtajdk, от некоторого значения pmm ДО Рщах* Тогда фазы О* будут
случайны именно в этом интервале скоростей, а движение частицы аналогично
броуновскому движению.
Мы уже замечали (см. ком. 3 к гл. 4), что при очень сильном перекрытии (К
> 1) область стохастичности может резко сузиться, так как в этом случае
происходит сильное вырождение резонансов и они, по существу, все
сливаются в один резонанс. Чтобы этого не произошло, необходимо
выполнение условия
K<N, (3.8)
где N - число волн в пакете. Условия (3.7), (3.8) обычно попользовались
как условия применимости так называемого квазилинейного приближения в
нелинейной теории плазмы [91] (см. § 6.3).
§ 5.4. Гоноклиническая структура в окрестности сепаратрисы
Расщепление сепаратрисы. Гомоклпнические точки. Еще раз об изоморфизме
стохастичности. Еще раз о ^-системах
В этом параграфе мы коснемся лишь в самом грубом и качественном виде еще
одной особенности поведения траекторий в окрестности разрушенной
сепаратрисы.
Рассмотрим петлю сепаратрисы, имеющую одну гиперболическую точку О (рис.
5.6, а). Она возникает, например, при движении частицы в кубическом
потенциале. Рассмотрим также два "уса" сепаратрисы: выходящий (S+) из
точки О и входящий (S~) в точку О. При действии малого периодического
возмущения на систему гиперболическая точка О оказывается устойчивой
[981. Это можно понять из следующих качественных соображений. Траектории
в окрестности гиперболической точки неустойчивы, поэтому очень малое
возмущение не может привести к более сильной неустойчивости траекторий.
Свойство устойчивости гиперболической точки распространяется на некоторую
малую окрестность ее "усов" (в противном случае разрушение "усов" привело
бы и к исчезновению гиперболической точки). Следова-
7*
99
телыго, малые окрестности "усов" вблизи О являются частями инвариантных
кривых S+, S~ при действии возмущения. Мы, однако, ничего не знаем о том,
как ведут себя инвариантные кривые 1S+, S~ вдали от точки О при действии
возмущения (в отсутствие возмущения они замыкаются в петлю).
Возможна следующая ситуация, при которой "усы" S+ u S~ ие замыкаются u
которую можно назвать расщеплением сепаратрисы. Поскольку возмущение
периодическое, то "ус" S+ начинает осциллировать. По мере удаления от
точки О в направлении S+ и по мере приближения к О в направлении 5" эти
Рис. 5.6. Образование гомоклинической структуры в окрестности
сепаратрисы.
осцилляции нарастают по амплитуде и одновременно уменьшается их шаг (рис.
5.6, б). Нарастапие по амплитуде связано с удалением от устойчивой точки
О, а уменьшение шага связано с замедлением движения в окрестности О.
Аналогичную картину можно представить себе, если двинуться из точки О по
"усу" S~ в противоположном к движению направлении (рис. 5.6, в). Такое
поведение "усов" S+, S~ должно привести к их пересечению в некоторой
точке, скажем, в М,, не совпадающей с О. Точка Мt называется
гомоклинической, и основное утверждение заключается в том, что если
существует хотя бы одна гомоклиническая точка (т. е. точка пересечения
"усов" S+ и S~, пе совпадающая с О), то гомоклинических точек бесконечно
много.
Доказательство сделанного утверждения следует непосредственно из свойства
инвариантности "усов" S+, S~. Действительно, подействуем на точку Л/,
преобразованием Т сдвига по времени на некоторую величину Т. Обозначим
т. е. через время Т точка Mi переходит в точку Мг. Инвариантность кривой
означает, что при подходящем выборе шага преобразования (например, через
период возмущения) все точки отображений располагаются па этой кривой.
Поэтому точка Мг принадлежит "усу" S+ н, по той же причине, "усу" S~.
Следовательно, Мг есть точка пересечения S+ и S~ и является также
гомоклинической. Продолжение этих рассуждений приводит к существованию
бесконечного числа гомоклинических точек. Очень слабое представление о
возпикающей при этом картине дает рис. 5.6, г.
б)
ю
Мг = TMi,
100
Следующее утверждение заключается в том, что при действии возмущений на
сепаратрису гомоклинические точки действительно существуют. Они были
обнаружены впервые Пуанкаре L27] в связи с исследованием задачи трех тел.
Пуанкаре писал: "Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не
пытаюсь изобразить". Рис. 5.6, г, конечно, не отражает полную картину на
фазовой плоскости, а только ее "нулевое приближение", так как в
окрестности каждой изображенной на рнсунке гомоклшшческой точки ие
