Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
критерием перекрытия резонансов (2.10) и критерием растяжения (1.14). Для
этого раскроем в явной форме выражение для К (2.8).
Согласно (1.3.13) и (1.3.15) ширина одного резонанса равна частоте
фазовых колебаний:
Да> ~ (еУо1(о'1)'/2,
где еУ0 - величина правой части в уравнении для 1 (см. формулу (1.3.5)).
В нашем случае из (2.2) следует, что V0 ~ /v. Отсюда
Д(c) ~ (e/0vl(o'|)1/2,
а в качестве /0 следует взять резонансное значение действия. Используя
обозначение (1.10), перепишем Д(c) в виде
Дш ~ (eav/(o)1/2. (2.11)
82
Из (2.3) и (2.5) следует, что расстояние между резонансами равно б(c) = v ~
1 IT. (2.12)
Подстановка (2.11) и (2.12) в (2.8) дает
К = Ыа(?>ТУ'\ (2.13)
Сравнепне (2.13) п (1.11) приводит к окончательному выражению К = К\
(2.14)
что доказывает прямую связь между параметром перекрытия резонансов К и
параметром растяжения К. Более глубокий анализ связи между величинами К и
К будет дан в следующей главе.
Остановимся па некоторых обобщениях. Особенностью критерия перекрытия
резонансов (2.10) является то, что для вычисления К достаточно
пользоваться исследованием движения системы в окрестности только одного
резонанса и в пренебрежении всеми другими. Технически такая задача
достаточно просто решается, как было показано в § 1.3, что делает
критерий (2.10) практически очень удобным (ком. 3). Продемонстрируем это
следующим образом. В правой части универсальной модели (1.5) стоит сумма
эквидистантных импульсов. Разложение такой силы в ряд Фурье (2.1) имеет
бесконечное число равноотстоящих на величину v гармоник с одинаковыми
амплитудами. Ясно, что число гармоник может быть конечным, а амплитуды и
расстояния по частоте между гармониками могут слегка варьироваться, и тем
не менее критерий (2.10) сохранится. Конечно, описанная вариация задачи
также позволяет построить преобразование и определить параметр
растяжения, однако условие перекрытия резонансов в данном случае быстрее
приводит к цели.
§ 4.3. Синус-преобразование
Свойства фазовых траекторий в зависимости от параметра растяжения.
Чем выделено синус-преобразование? Стационарная функция распределения
В простейших, точно решаемых моделях преобразования растяжения (см. §
2.1) зависимость характера движения от параметра К была очень простой:
при К < 1 движение устойчивое и при К > 1 движение перемешивающееся. В
реальных задачах, как уже отмечалось, столь простых ситуаций
принципиально не бывает. Это связано с наличием островков устойчивости и
некоторой переходной области конечной ширины по параметру К. В связи с
этим вопрос о характере смены режимов движения, пли, как говорят, вопрос
о бифуркациях решений, при изменении К, имеет определенный нетривиальный
смысл.
Уже отмечалось, что в некотором приближении (в котором действие не
успевает очень сильно измениться) достаточную
6*
83
информацию о движении системы дает преобразование фаз (1.18), в котором
существование и структура оетровков устойчивости определяются видом
функции gift). Рассмотрим упрощенное синус-преобразование [80]
х = Тх {К sin (пх)}, (3.1)
содержащее все характерные особенности преобразования фаз
(1.18). Строгий результат относительно (3.1) заключается в следующем (Я.
Г. Синай). В окрестности нолуцелых значений К = = Л^ + Уа UV = 1, 2, ...)
расположены области конечной меры такие, что при значениях К, попадающих
в эти области, существуют устойчивые периодические точки хи хг, ..., к
которым притягиваются траектории. Таких областей бесконечно много, и нх
размер уменьшается с ростом К. Приведем качественное исследование этого
случая [80].
Рассмотрим К, близкие к полуцелым:
Я^+Уг + б, 6"1,
и будем считать, что R > 1. Рассмотрим также окрестность точки х, полагая
начальное ? = '/2 + е (е < 1). Тогда из (3.1) находим
х = {(N + 7, + б) cos ел) * {*/, + б - У2Мея)2}. (3.2)
Будем искать область устойчивости при б < е и Кг2 < 1. Тогда из (3.2)
следует
х~'/г- *Шгл)г = У* - */2Жел)2 - */2 + 7.
Условие I е I < е означает устойчивость, причем в результате
итерационного процесса точка х '/2. Используя для I е I выражение
*/2Жел)г, находим условие устойчивости в виде
е < во = 2/Кл\ (3.3)
Уравнение (3.3) определяет область значений х при б < е такую, что точки
этой области притягиваются к точке х0 = '/2, несмотря на то, что К " 1.
Далее, увеличивая б, можно найти две точки притяжения:
Ху = {К sin ля2}, хг = {?sin nxj.
В окрестности х - Уа (т. е. К, близких к полуцелым) точки притяжения
определяются уравпенпями
Ху = {Ю, хг = {Я sin л(Ю)
и соответствуют периодической траектории, а граничное значение К, при
котором возникает бифуркация от одной точки притяжения к двум, равно К =
8,521. Численный анализ, иллюстрирующий сказанное, приведен в [80]. На
рис. 4.3 изображены гистограммы заполнения ячеек по х (всего их 500) в
зависимости от К. Например, при К = 8,521 появляются две точки притяже-
84
ния и т. д. Уменьшение чисел заполнения ячеек с увеличением порядка
резонансной траектории (т. е. числа точек притяжения) связано с условием
