Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
нормировки. Вне описанных выше областей значений К и х движение является
перемешивающимся. Функция распределения р(я) в этом случае приведена на
рис. 4.4. Ее
р(х)
Рис. 4.3. Функция распределе- Рис. 4.4 Функция распределения в
ния в области устойчивости. случае перемешивания (К =
Значения К, при которых про- = 17,1482).
исходит бифуркация удвоения периода, обозначены цифрами.
существование п наличие в ней особенности ~(я - хд~1,г, где Xi- точка
резонанса, были показаны Бунимовичем [81]. Резким максимумам А и В на
рис. 4.4 как раз и соответствуют точки резонанса хи хг*).
Следующее соображение окажется в дальнейшем очень важным для конкретных
вычислений. Поскольку особенность р(я) интегрируемая и достаточно узкая
(в ячейке размером Да: = 0,02 число частиц лишь в четыре раза превышает
среднее число частиц по ячейкам), то с хорошей точностью можно считать
при вычислении средних, что
рЫ " const = 1. (3.4)
Свойство (3.4) будет в дальнейшем часто использоваться, так как при 1 его
можно распространить также п на преобразование (1.7) универсальной модели
стохастичности.
Комментарии к гл. 4
1. Уравнения преобразований типа (1.7) появились впервые в работе
Чирикова [74] в связи с исследованием проблемы стохастической
неустойчивости нелинейных колебаний. Впоследствии анализу различных их
модификаций было уделено много внимания [75, 76, 15, 24, 25]. Различные
упрощенные варианты системы (1.7) явились удобным инструментом для
анализа ряда вопросов, возникающих в теории стохастичности.
*) Читателю предлагается доказать наличие корневой расходимости в функции
распределения р(х), используя метод, изложенный в § 2.1 для вычисления
р(х).
86
2. Во многих исследованиях критерий Чирикова (2.10) используется как
очень эффективный способ обнаружения стохастичности в довольно сложных
системах. Правильная физическая интуиция, которая привела к этому
критерию, не основывалась на каких-либо строгих методах и не была связана
с использованием результатов эргодической теории. Численному анализу
условия перекрытия резонансов посвящены работы [14, 15, 24, 25]. В
частности, в работе [79] было исследовано появление стохастичиости при
перекрытии всего лишь двух (!) резонансов.
3. В этом месте следует сделать определенные предостережения. Как
всякое качественное условие достаточно общего характера, оно имеет
определенное число оговорок, которые не столь просто сформулировать. Это
связано с тем, что отсутствие строгого вывода критерия перекрытия
резонансов не дает возможности точно указать его пределы применимости.
Приведем простой пример. Пусть два резонанса столь сильно перекрываются,
что почти совпадают друг с другом (б/т-*-0, 6шт-*-0). Тогда ясно, что мы
имеем дело практически с одним резонансом, но удвоенной амплитуды, и
никакой стохастичности не будет. Однако очевидно, что если резонансов не
два, a N, и N > К, т. е. общее число резонапсов больше параметра
перекрытия резонансов, то описанный эффект вырождения стохастичности
отсутствует и критерий (2.10) работает. Различные особенности и уточпепня
критерия (2.10) содержатся в обзорах Чирикова [24, 25].
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ
Вопросы, излагаемые в этой главе, играют исключительную роль в общей
теории стохастичности гамильтоновых систем. Если бы мы пользовались
терминами квантовой теории, то можно было бы задать вопрос о том, что же
является "квантом" стоха-стпчности? Как должна выглядеть та минимальная
ячейка фазового пространства, которая несет в себе зародыш
стохастичности? Для гамильтоновых систем, совершающих финитное движение,
ответы на эти вопросы известны. "Квантом" стохастичности является
стохастический слой (рис. 5.1), образующийся в окрестпостп сепаратрис под
действием произвольного (!) сколь угодно малого нетривиального возмущения
(ком. 1).
Рис. 5.1. Стохастический слой (заштрихованная область) в окрестности
сепаратрисы.
§ 5.1. Стохастическое разрушение сепаратрисы
Особенности движения вблизи сепаратрисы. Построение преобразования.
Условие стохастичности. Ширина стохастического слоя
Рассмотрим нелинейную систему, на которую действует периодическое по
времени возмущение. Запишем гамильтониан в виде
Я = Н0(1) 4- eVU, •&) cos vf, (1.1)
где выбрана простейшая зависимость от времени. Относительно
певозмущенного гамильтониана Нл будем предполагать, что он описывает,
например, маятник (см. § 1.2 п формулу (1.2.5)):
Я о = Ч2х2 - toj cos х, (1.2)
где величина со0 имеет смысл частоты малых колебаний, а масса
положена равной единице. Траектории на фазовой плоскости, соответствующие
системе (1.2), изображены выше на рис. 1.2, б. Для нас существенно лишь
то, что система (1.2) имеет сепаратрису.
87
Как будет видно далее, конкретные свойства невозмущеныой системы особого
значения не имеют. Потенциал возмущения У(/, Ф) в (1.1) получается нз
функции V(x) заменой переменных (х, х) -*¦ (ft, I).
Запишем точное уравнение для действия следующим образом: / = ттгН =------
