Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 44

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 102 >> Следующая

4.1 мы видели, что в случае перемешивания достаточно ограничиться
приближенным уравнением движения фазы
О "(о(7).
Поэтому согласно (2.14) можно записать ^(fi, f2) =0(f,) - 0(f2).
Отсюда следует, что выражения, стоящие в (2.32) под знаком огрубления
<<.. .>>, совпадают с соответствующими корреляторами типа (2.27).
Используя (2.27), пмеем
"ехр [-0)]> = "ехр {-ш[<К?) - <Н0)])" ~
~ ехр i-t/xc) ехр (-imat). (2.33)
114
Аналогично выводу (2.27) можно показать, что
"ехр [-im$(t2, fj)]" = "ехр {-irotflU,) - <Kf2)
~ ехр [-(it - f2)/tJ exp [-imatii - i2)]. (2.34)
Подстановка (2.33), (2.34) в (2.32) и дифференцирование по ? дают
= - fe ехр (- the) ехр (- imat) <01 Lx (t) | го> fm (/, 0) - t
- e(r)2 2 [ dtexp I- T- * (mo) - PQ)x] x
m р о C
X <01 LliP | ro> <ro | Lx,_p 10> F" (2.35)
где так же, как и ранее, с точностью до членов более высокого порядка по
е сделана замена /0(/, 0) на F в члене порядка е\ Из (2.35) теперь видно,
что при t > т" первый член экспоненциально убывает и память о начальных
условиях псчезает. Во втором члене заметим, что условие возможности
резонанса row - pQ " 0
означает, что в суммах отбираются члены, в которых знаки т и р одинаковы.
Учитывая это, а также свойства симметрии матричных элементов Lt при
изменении знаков го и р, и переходя к пределу t -*¦ °°, имеем из (2.35)
окончательно
_ 2еа У У 1/т° х А )2 + (шо-рй)аХ
X <0|?i,p|ro><ro|Z,1_p|0>JF. (2.36)
При условии
1/Тей О (2.37)
выражение
С 4 \ 1/т Jt
-, гош - pQ | = - е--5 -V 8 (гою - pQ) (2.38)
тс / (1/тс) + (тш - Рй)
п уравнение (2.36) переходит в основное кинетическое уравнение (2.19) или
(2.22). Если воспользоваться явными выражениями для матричных элементов
возмущения, то (2.36) принимает вид
57="'*я22'",11'-1,д(^.'""-ра)5т-я1)я- <2-39>
т р \ с /
где
D = яе8 2 2 m81 I2 Д (f. mo) - (2-4°)
Происшедшая замена б-функции на Л-функцию связана с учетом конечного
времени потери памяти о начальных условиях.
Итак, мы получили кинетическое описание системы при произвольных
начальных условиях, если только движение системы обладает свойством
перемешивания. Сама схема вывода уравне-
8* "5
ння (2.39) определяет также п функцию F, для которой кипетп-ческое
описание может быть получено. В определение F (2.31) входит конкретный
способ огрубления. В связи с этим полезно выяснить, к чему привела бы
операция огрубления (2.30), если бы условие перемешивания (2.26) не
выполнялось. В этом случае коррелятор фаз имел бы порядок
Жт, t\m, 0) ~ ехр (imat).
Поэтому
"ехр l-im^U, 0)]" ~ ехр (-imat)
и члепы ~е в (2.32) не затухали бы. Таким образом, операция огрубления по
фазам ничего не меняет в отсутствие перемешивания (ком. 6).
Остановимся теперь на соотношениях между характерными временами,
определяющими кинетическое описание системы. Действие возмущения на
осциллятор выражается в виде 6-образ-ных толчков. Поэтому длительность
"столкновения" т, равна Булю. Время между столкновениями равно Т. Его
можно иптер-претировать как время свободного пробега т0. Время
расцепления корреляций тс, или время потери памяти о начальных условиях,
удовлетворяет, согласно (2.28) при К " 1, перавенству
тс" Т = тс.
Наконец, пз (2.39), (2.40) (см. также (2.24)) находпм время диффузии
Таким образом, шкала времен выглядит следующим образом:
При выводе кинетического уравнения мы пользовались асимптотикой ? Теперь
можно указать ее смысл: t" т0 = Т.
Впоследствии мы встретимся с выводом основного кинетического уравнения
для значительно более сложных систем. Однако все основные элементы его
получепия, описанные выше, сохранятся. Сохранятся также соотпошения
(2.42) между характерными временами задачи.
§ 6.3. Диффузионное движение частицы в поле волнового пакета
Выбор переменных. Уравнение для функции распределения. Аппроксимация
волновых пакетов. Квазилинейное уравнение. Замечание о времени "захвата"
частицы
В многочисленных задачах теории плазмы движение заряженной частицы
происходит в поле волнового пакета, т. е. уравнения движения имеют вид
(5.3.4):
(2.41)
Т, " Тс " Т0 < То.
(2.42)
X = 2 Eh eas (fee - сoht),
(3.1)
146
где зависимость о* от к характеризует закон дисперсии волн, составляющих
волновой пакет. В § 5.3 мы выяснили, при каком условии движение частицы
становится стохастическим. Это условие согласно (5.3.7) имеет вид
(3.2)
где обозначено
Й* = Аk(v - dv>k/dk) (3.3)
о ДА: есть характерное расстояние между волновыми числами волн,
являющимися соседними в спектре волнового пакета. Соответственно, Йц
имеет смысл характерного расстояния по частоте между такими волнами.
Удобно ввести еще одно обозначение:
где т* согласно (3.1) есть период малых колебаний частицы в поле к-й
плоской волны. Критерий (3.2) принимает теперь простой вид:
<3'5)
имеющий смысл квадрата параметра перекрытия резонансов.
Построим кинетическое уравнение, описывающее движение частицы при
выполнении условия (3.5). Перепишем уравнение
(3.1) в виде системы
v = у 2 ехР (W*) + V~k ехР (" №*))* V~h - V* h
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed