Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
- 2 (оЛсЛ sin 0ft =
= ^ 2 cos flfti c°s eos 0ft3. (1.10)
12S
Оставим в (1.10) только резонансные члены, удовлетворяющие условию (1.9).
Для оценки запишем лишь один такой член, например,
~ тар W', "р ' (*" + "*, - \ - Ч> <*•">
Пусть ширина резонанса определяется амплитудой Ас*. Это означает, что
ширина резонанса по частоте равна
dco. dba>b
Awh = ^Ach = -^Ach. (1.12)
В частности, той же величипой Aw* определяется и расстройка резопанса.
Поэтому интегрирование (1.11) по времени с учетом
(1.6) и (1.12) дает оценку
A (Oft ~ 64ДГ(0Ь Дсоь '
откуда
[л со 1^^
Мы рассмотри 'гц то, что ранее было названо изолированным резонансом.
Очевидно, что ближайшие резонансы могут быть получены из свойств
структуры спектра. Обозначим через Ак расстояние по частоте между
соседними резонапсамп. Очевидно, что А dak п "к
Aft ~ <oft+1 - - = - cos ^. (1.14)
Отсюда условие возпикновения стохастичности может быть записано как
условие перекрытия резонансов _______ Дш.
К = 1. (1.15)
ак
Его можно также переписать в виде
(1.16)
где критическое значение fJ0 определяется из условия К = 1. Удобно,
однако, ввести безразмерный параметр нелнпейности, который согласно
(1.2), (1.3) имеет вид
е ~ 3pwV ~ 3$E/N, (1.17)
где Е - полная энергия колебаиий струны. Из формул (1.15)-
(1.17) можно получить критерий стохастичности в виде [1141
e>const/fc, 1 (1.18)
где k<N - некоторый средппй номер возбужденных мод. Таким образом, если
условие (1.18) не выполнено н имеет место обратное неравенство
е < const/fc, (1.19)
126
то двпженне должно сохранять свой условно-перноднческий характер. Это
является следствием теоремы КАМ н объясняет причины неудач работы [110].
Приведенные качественные соображения разъясняют парадокс ФПУ.
Термалпзация струны (или цепочки осцилляторов) может произойти лишь при
достаточно интенсивном возбуждении мод с не слишком малыми номерами к.
Численные эксперименты Израилева и Чирикова [114, 115] подтвердили
проведенный ими качественный анализ. Аналогичная граница стохастичности
возникает и в двумерной цепочке [116].
§ 7.2. Стохастизация волнового поля
Гамильтониан взаимодействующих фононов. Распадные спектры. Построение
дискретного отображения. Условие устойчивости и условие стохастичности.
Роль числа степеней свободы. Энтропия Колмогорова в многомерной системе
Приведенный выше пример задачи ФПУ явился лишь небольшой иллюстрацией
анализа рождения перемешивающегося движения в системе с большим числом
степеней свободы. Перейдем к исследованию нелинейного волнового поля с
более общей точки зрения (ком. 2). Запишем гамильтониан нелинейного
волнового поля в виде разложения
н = 4-2"* + уЦо'м + к h
+ "З" Р 2 ^klhlh3UhlUh2Uh3^ ^ ^
hl.h2.hj
+ X Р2 2 ^hihih3h*UhlUh2Uh3Uk^ ^ + ^'2 + h + kt) + . . ., (2.1)
h1,h2,h3,h4
где j} - .малый параметр разложения по степеням переменной и. В выражении
(2.1) мы ограничиваемся разложением до |}2, т. е. до и1. Функция б (к)
понимается как символ Кронекера 6*>0, если спектр волновых чисел к -
дискретный, и б (к) - обычная б-функ-цня Дирака, если спектр волновых
чисел непрерывный п суммирование по к следует заменить интегрированием.
Выражение (2.1) можпо рассматривать как энергию системы слабо
взаимодействующих осцилляторов или (что более употребительно) фононов.
Ядра Fibi, Vhhhhi удовлетворяют свой-
1 2 3 1 2 3 4
ствам симметрии
Vftjfcjft,, = = = • ¦ ч
Vb1k2k3hi = Vhik1k3hi = = . . .
Спектр частот со* = со (к) предполагается дискретным с характерным
расстоянием между гармониками и с расстоянием
127
между частотами " da. h = ~dlc~
(2.2)
Нам предстоит решить вопрос об условиях, при которых возникает
термодинамически равновесный фононный газ. Остановимся предварительно на
двух вспомогательных вопросах.
Первый из ппх связан с возможностью резонансного взаимодействия фононов.
Мы уже видели в предыдущем параграфе, что резонанс между несколькими
модами играет выделенную роль в эволюции переменных задач. В общем случае
условие резонанса можно записать в виде
2 nj<0j = 0, (2.3)
}
где щ - какие-либо целые (положительные н отрицательные) числа. Однако в
рассматриваемой задаче, как будет видно дальше, основную роль будет
играть частный случай условия (2.3):
"л = к = кх + кг, (2.4)
описывающий процесс взаимодействия трех волн: распад волны с импульсом к
на волны с импульсами kv к2 или слияние воли с импульсами к2 в одну волну
с импульсом к (рис. 7.1). Уравнения (2.4) обычно интерпретируются как
законы сохранения
Рис. 7.1. Трехволновые про- Рис. 7.2. Примеры четырехволиовых процес-
цессы распада (а) и слия- сов. ния (б) волн.
энергии и импульса при взаимодействии фононов. Появление дополнительно к
уравнению для частот (2.3) еще и закона сохранения импульса обусловлено
паличием 6-функцин в гамильтониане <2.1), выражающих его трапсляцпонно-
инварпантные свойства. Аналогично (2.4) можно, например, записать
четырехволновые резонансные взаимодействия в виде процессов (рис. 7.2),
для которых выполняются соотношения
