Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
7v(z) = (г-*Шгг). (31.3)
Полагая к - 0, получим мелкомасштабные решения. Они, как и в предыдущей
задаче, выражаются в виде
Фз 4 = я1/2А~1/4(;г - xs)3/i exp [±2гА1/3(;г - xs)s/2/3 + ш/41.
(31.4)
Функция Макдональда Ка, как и функция Бесселя Hi, обладает в нуле
логарифмической особенностью. С приближением к ней масштаб решений ф! и
ф2 сокращается, они становятся мелкомасштабными, и это их свойство
сохраняется в секторе
(arga.+ 4я)/3 < arg (х - х,) < (arg а + 2я)/3. (31.5)
Асимптотику решений (pi и ф2 в этой области получим после замены
KQ(k(x - х,)) K0Lkix - xs)) - ф4. (31.6)
Предположим, что выполнены условия теоремы Ре-лея, а точнее, ее аналога
для уравнения (31.1). Тогда для анализа устойчивости движения мы должны
перейти к задаче с начальными условиями. Вся схема построения решения
эволюционной задачи для уравнения (31.1) аналогична схеме, использованной
в предыдущем параграфе для уравнения Орра - Зоммерфель-да. Поэтому
приведем сразу окончательное асимптотическое решение, не останавливаясь
на промежуточных выкладках (за подробностями можно обратиться к работе
[15]).
101
На малых временах t <Г = со01 (ир*) 2/3 имеем ф (t, х, х0) ~ t~\ [соГ1
(я) ехр (- ш3 (х) t) +
+ С071 (х0) ехр (- ias (х0) ?)] KQ (к \х - х0\), (31.7) на больших
временах t"> Т
Фit, х, ха) ~ t~lKo(k\x - хй\) ехр [- ikx0 -
-ms(x)t + i(x<j)0t)V(24A), x>x0, (31.8)
где coo - альфвеновская частота; и - величина, обратная характерному
масштабу неоднородности плотности плазмы. Из (31.7), (31.8) следует, что
в начальной стадии возмущения возрастают. Причем инкремент нарастания
определяется локальным дисперсионным уравнением е(со, х) = 0. При t ~
cojj"1 (хрг)-2/3колебания перестают быть гармоническими - их частота
начинает возрастать со временем; при несколько большем вре-
1 ( v 2 ^ ^ 0
мени t~ сосГ (>фг) 8 инкремент нарастания начи-
нает уменьшаться, и наконец, при t > tm = 2(2ys)1/2X X Щ 3 2(хРг)-1
нарастание сменяется затуханием. Здесь ys = (1/2)г)о)0 - локальный
инкремент колебаний. При t = tm амплитуда начального возмущения
возрастает в А раз:
4 У2 / А0 \i/a / Ys у/2'
з \ & ) о>:
(31.9)
где А0 = -у- pi 2со0 гсо1. В (31.9) предполагается, что показатель
экспоненты велик по сравнению с единицей. Поэтому мы пренебрегли
предэкспоненциальным множителем. Затухание возмущений обусловливается
эффектами конечной проводимости плазмы.
Глава VI РАСПАДНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
§ 32. Введение
Во многих случаях амплитуду или интенсивность одной из волн (волны
накачки) в укороченных уравнениях (5.10) можно считать заданной. К
анализу та-
102
кого рода случаев мы и обратимся в настоящей главе
Множество задач нелинейной оптики было исследовано в приближении
заданного поля, когда амплитуда и фаза одной из волн полагаются
постоянными (см., например, [1]). Это приближение хорошо описывает
начальную стадию процесса нелинейного взаимодействия воли.
Приближение заданного поля налагает значительные ограничения на область
применимости получаемых результатов. В ряде случаев удается несколько
расширить область применимости линеаризованных уравнений, используя
приближение заданной интенсивности [2]. При этом интенсивность одной из
волн полагается постоянной, а на фазы всех волн не налагается никаких
ограничений. Последнее обстоятельство является существенным при
исследовании взаимодействий волн в сильно неоднородных средах. В этих
случаях фазы всех волн (в том числе и волны накачки) сильно про-
модулированы за счет неоднородности, в то время как интенсивности
вторичных воли малы из-за ослабления эффективности взаимодействия
расстройками фазового синхронизма. Ниже, при линеаризации укороченных
уравнений, будем использовать приближение как заданного поля, так и
заданной интенсивности.
Волна конечной амплитуды, распространяющаяся в нелинейной среде, может
искажаться из-за взаимодействий с волнами возмущения. Для эффективного
преобразования энергии в системе трех волн необходимо выполнение
резонансных условий
со3 = coi + со2, kg === kj -{- k2.
Взаимодействие волны накачки с волнами возмущения происходит различным
образом в зависимости от соотношения частот волн. Если волна накачки
обладает максимальной частотой, то при выполнении резонансных условий она
неустойчива относительно распада на два волновых возмущения. При этом
амплитуда возмущений экспоненциально возрастают со временем. Такой
процесс впервые рассматривался В. Н. Ораев-ским и Р. С. Сагдеевым [3] и
получил название рас-падной неустойчивости волны конечной амплитуды.
Найденные Бломбергеном с соавторами [4] стационарное решения укороченных
уравнений показали, что на
103
нелинейной стадии развития распадной неустойчивости (с учетом влияния
вторичных волн на исходную) возможно полное преобразование энергии в
низшие частоты. Если характер линейных дисперсионных соотношений для волн
шДк,-) таков, что резонансные условия
(32.1) выполняются сразу для большого числа троек волн, то в
результате развития распадной неустойчивости исходной волны и вторичных
