Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
стационарной. Вместо стационарной картины наблюдаются сильные биения
спектральных компонент. Укручение нелинейной волны может привести к
опрокидыванию [6], в результате которого могут возникнуть многопотоковые
движения [11]. Как уже упоминалось в предыдущей главе, мы не касаемся
вопросов, связанных с влиянием областей нарушения квазиклассического
подхода на процессы резонансного нелинейного взаимодействия волн.
Мы лишь упомянули возможные подходы к анализу распадных и взрывных
взаимодействий, изложение которых выходит за рамки нашей книги. В данной
главе
116
мы ограничимся построением и анализом не зависящих от времени
асимптотических решений укороченных уравнений при переменных расстройках
фазового синхронизма [13-18], которые представляют собой обобщение
стационарных решений [1] на случай неоднородных сред.
§ 37. Взаимодействие волн в однородных средах
При исследовании стационарных решений уравнений (5.10) удобно перейти к
комплексным амплитудам Aj (х, t) = v}l2Cj(x, t). Квадрат модуля \Aj\2
имеет смысл числа квантов Nj, проходящих в единицу времени через
единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
После замены переменной % = Vx/iviv2v3)l/2 в (5.10) придем к следующим
уравнениям, описывающим стационарные решения (d/dt = 0):
dA^dl = iA*A3exр j x(^) dl^j,
dA2/dl = гЛ*Л3ехр^г j x(^1)d|1j, (37.1)
dA3/d\ = iA,A2 exp г j x (^) dlx j.
Здесь x(?) = A(|) • (v^v^/V, A(i|) = k3 - - k2.
Уравнения (37.1) имеют интегралы движения, аналогичные соотношениям Мэнли
- Роу в теории параметрических усилителей [19];
mi = + Nt - const,
m2*= N3 + Ni = const, (37.2)
m3 = Nt - N2 = const,
N,= \A}\\
Используя условие резонанса для частот (c)3 = (r)1 + (c)2 и (37.2), нетрудно
получить следующий интеграл уравнений (37.1), смысл которого состоит в
сохранении
117
плотности потока мощности:
OiNi + со2Д^2 + со3А^ = const. (37.3)
Дальнейшее исследование удобно проводить, перейдя к действительным
амплитудам р3- и фазам ф, волн ^4j(g) = рД|) ехр (мрД|)). Тогда система
(37.1) сводится к следующим четырем уравнениям для рД|) п относительной
разности фаз волн 0 (!) = Фз - Ф1 - ф2+
+ j к (lj) dl{i
о
dpjd\ = -р2р3 sin 0,
dp2/d?, = - pip3 sin 0, (37.4)
dpjd% = pip2 sin 0,
dQ/d% = и(|) + (p4p2/p3 - рфз/рг - p2p3/pi) cos 0.
Легко убедиться, что уравнениям (37.4) тождественно удовлетворяет
интегральное соотношение, которое мы используем в дальнейшем:
I
Р1Р2Р3 COS 0 + J И (ii) Рзфз/с^с^! = Г, (37.5)
о
где Г - константа, определяемая граничными условиями. При постоянной
расстройке фазового синхронизма к - у.о = const интегральное соотношение
(37.5) переходит в известный [1] интеграл движения уравнений
(37.4)
PiPaPs cos 0 + х0рз/2 = Г. (37.6)
Интегралы (37.2), (37.6) позволяют привести исследуемую систему уравнений
к уравнению для плотности потока квантов одной из волн N3{|) [1]
dN3/d\ = ±2lN3(ml - N3)(m2 - N3) - (Г + ^N3/2YYn.
(37.7)
Выбор знака в уравнении (37.7) определяется граничными условиями.
Уравнение (37.7) можно переписать в интегральной форме
118
JV3(|)
5= ±(1/2) j' dNJlNtfa-NJfa-N,)-
JV3(Q)
- (Г+ и0ЛГ,/2)*]"/*. (37.8)
Пусть N3a, Жзь, /V3c - три корня, обращающие в нуль подкоренное выражение
в знаменателе под знаком интеграла в (37.8) QV3c > N3b >N3a> 0):
Ns(mi~ N3)(m2~ N3) - (Г + KoN3/2)2 = 0. (37.9)
Перейдя в (37.8) к переменной у2 = (N3 - N3a)/(N3b -
- N3a), получаем эллиптический интеграл Якоби в стандартной форме
[19] .
"(5)
? - ± (Агзс- /v3a)"1/2 J Ф/[(1 - г/2) (1 - vV)]1/2, (37.10) "(0)
где "f2 = (/V3b - N3a)/(N3c - N3a).
Таким образом, решение для плотности потока квантов ЛГ3(|) имеет вид [1]
#,(?) = /V3o + (/V3?, - NJ sn2 [(/V3c - /V3J1/2(? + g0); T],
/V2(g)=/V2(0)+/V3(0)-/V3o-. ~(N3b-N3a)six2l(N3c-NSa)l/4^ + lo); ?],
(37.11) /V1(|)=/V1(0) + iV3(0)-/V3a-
- (N3b - /V3J sn2 [ (/V3C - /V3J1/2(| + |0); T].
Здесь величина |0 определяется граничными условиями.
В работе [1] на основе решения (37.11) проанализированы различные
интересные для приложений частные случаи граничных условий как при точном
согласовании фазовых скоростей, так и при постоянных расстройках фазового
синхронизма волн. При больших расстройках фазового синхронизма нелинейное
взаимодействие волн существенно ослабляется и носит осцил-ляционный
характер.
В силу пространственно-временной аналогии в укороченных уравнениях [21]
формулами (37.11) описывается также не зависящее от пространственной
координаты (д/дх = 0) решение исходной системы (37.1), соответствующее
нелинейному взаимодействию трех волновых пакетов в безграничной
однородной среде, каждый из которых представляет собой дельта-функ-
119
цию В' /^-пространстве. При этом переменная | в выражениях (37.11) -
определенным образом нормированное время, а под ЛГ3(1) следует понимать
не плотность потока квантов, а число квантов в единице объема 12]. На
основе решения (37.11) в [2] проанализирована нелинейная стадия развития
распадной неустойчивости в безграничной однородной плазме и показан
