Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
неоднородность уменьшает эффективность преобразования частоты. Формула
(35.13) показывает, что на больших расстояниях происходит насыщение.
Обсудим теперь процесс генерации суммарных ча-
5 Заказ jsfi 414
113
стот (03 = g)i + (02, А(ж) = к3 - ki - кг. Пусть на границе нелинейной
среды осуществляется стационарная подкачка волн с частотам coi и ш2:
с,(х = 0) = с,о
(/ = 1, 2), с3(х = 0) = 0. После замены ?3 = с3 X ( * \ '
X ехр i j А (х,) dx1 ) нетрудно в приближении заданной
интенсивности привести систему (5.10) к одному уравнению для XF3(^)
d2W3/dx2 - iA (х) d4z!dx + (2g\ - idMdx) ?3 = 0,
(35.14)
где g| = V2 [(I c10 I )*/y, + (I c201 f/v i]/y8. Уравнение
(35.14) аналогично (35.7), поэтому его решение имеет вид (35.9), где
V12cl0/v2 следует заменить на Vci0cz0/v3. Таким образом, процессы
смешения частот в приближении заданной интенсивности вполне аналогичны
генерации второй гармоники.
Глава VII
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ уравнений для амплитуд § 36. Введение
В 1962 г. в работе Армстронга, Бломбергена и др. [1] были получены
стационарные решения уравнений
(5.10) для случая однородных сред. Эти решения позволили
проанализировать различные процессы резонансного взаимодействия волн на
нелинейной стадии, когда влияние вторичных волн на волну накачки уже
нельзя считать малым. Так, из решений, полученных в [1], следует, что
развитие распадного процесса в однородных средах в отсутствие диссипации
приводит к периодическому обмену энергией между накачкой и вторичными
волнами, так что распадная неустойчивость носит обратимый характер [2L
Формализм, развитый в [1], позволил исследовать влияние постоянных
114
расстроек фазового синхронизма на эффективность преобразования частот.
В. Е. Захаров и С. В. Манаков применили метод обратной задачи
рассеяния для анализа укороченных уравнений (5.10), (5.16) при точном
выполнении условий фазового синхронизма [3]. Авторами [3] указан алгоритм
построения некоторого класса точных решений укороченных уравнений,
соответствующих частному виду матриц рассеяния. В [3] также получены и
проанализированы асимптотические (при t-+±°°) решения задачи о
резонансном рассеянии волновых пакетов друг на друге. Эти решения
проясняют ряд "тонких" вопросов, связанных с влиянием соотношения
групповых скоростей и исходных параметров волновых пакетов на характер их
взаимодействия.
Метод обратной задачи рассеяния, вообще говоря, может быть применен к
анализу уравнений (5.10),
(5.16) и при А(х)Ф0 [4]. Укажем замену переменной, в результате
которой различие между однородной и неоднородной задачами сводится к виду
граничных и (или) начальных условий. Перейдем в уравнениях
(5.10) к новым амплитудам Ь}(х, I)
bj(x, t) = с3 exp (iWj(x, t)), (36.1)
где фазы Ч*"}(x, t) удовлетворяют уравнениям
dWj/dt+VjdWj/dx = 0, j = 1,2,3, (36.2)
j A fo) dx1 - T, - T2 + Т3 = 0. (36.3)
0
Тогда для амплитуд Ъ,{х, I) мы получаем систему
(5.10), где Д(а;)=0. Начальные и граничные условия при этом следует
изменить с учетом сделанной замены. Таким образом, взаимодействие трех
пакетов волн в неоднородной среде эквивалентно взаимодействию начально
возмущенных пакетов при точном выполнении условий фазового синхронизма в
однородной среде. Гладкие начальные условия для системы (5.10) после
замены (36.1) для сильнонеоднородных сред становятся быстро
осциллирующими в пространстве функциями. Стационарные граничные условия
после замены (36.1) при А(х) Ф 0, вообще говоря, становятся
нестационарными.
5*
115
В ряде случаев решения нелинейных уравнений с переменными коэффициентами
могут иметь вид быстро осциллирующих в пространстве или во времени
функций с медленно мёняющимися параметрами. Для анализа нелинейных
уравнений в таких случаях можно применять асимптотические методы,
аналогом которых для линейных задач является метод ВКБ [5-7]. Строго
обоснованный асимптотический метод получения решений нелинейных уравнений
с переменными коэффициентами (комплексный метод ВКБ), быстро убывающих
вне окрестности некоторых точек, кривых и поверхностей, изложен в
монографии В. П. Маслова [7].
Основные трудности при использовании асимптотических методов для анализа
нелинейных систем возникают вблизи точек (кривых, поверхностей), где
нарушаются условия применимости квазиклассического подхода. Если для
линейных задач существуют излагавшиеся выше подходы, позволяющие в
значительной мере обойти эти трудности, то при анализе нелинейных
уравнений эти трудности пока существенны. Можно указать ряд работ, в
которых авторам удалось теми или иными способами "сшить" асимптотические
решения при переходе через особую область [8-12]. В областях, где
нарушается квазиклассическое описание, исходное нелинейное решение может
претерпевать существенные качественные изменения. Уединенная нелинейная
волна может разбиваться на ряд волн, могут появляться отраженные
нелинейные волны [8, 9]. Авторами [10] показано, что кноидальная волна
после прохождения области смены знака нелинейности не остается
