Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Выберем пространственную зависимость правой части уравнения (30.1) в виде
S-функции с(х) ~ 8(х - х0), тогда его решение должно быть
пропорциональным функции Грина. Последнее можно выразить через решения
однородного уравнения, соответствующего уравнению с правой частью (30.1).
В окрестности точки ха, где со = kv"{x), его можно представить в
безразмерном виде, разложив коэффициент при втором слагаемом в (30.1) в
резонансной точке х, (в дальнейшем у функций ф и G индекс со для
краткости опустим):
Л-yv + V' +Ф = 0. (30.3)
Здесь z = (xs х) v"Jv'o, А = ik (v'0)4/v (v0)3.
Напомним некоторые свойства его решений (см. § 26). Поскольку коэффициент
перед четвертой производной мал, решения однородного уравнения можно
разделить на крупно- Чф±, ф2) и мелкомасштабные (фз, ф4). Такое
разделение справедливо вдали от точки xs, в которой разность со - kv0(x)
обращается в нуль и может нарушаться при Ы < Л_1/3.
Как показано в гл. IV, приближенные выражения для ф(, ф2 могут быть
получены из решения укороченного уравнения с отброшенной четвертой
производной. В Качестве линейно-независимых удобно выбрать решения,
обращающиеся в нуль при |z| -> оо;
Ф l = 2nizl/2Ii(2zl/2),
I
93
ф2 = niz^H^z1'*) + 2nizinIl(2zt/z).
(30.4)
При нахождении асимптотик мелкомасштабных решений в дифференциальном
уравнении может быть опущен свободный член (вследствие наличия малого
параметра перед старшей производной)
фз,4 = л1/4Л"3/4г~5/4 ехр (+ 2iAI/2z3/2/3 + in/4). (30.5)
Следует отметить, что- из-за логарифмической особенности у функции
#,(2zI/2) пространственный масштаб решения ф2 при приближении к xs резко
сокращается - оно становится мелкомасштабным, и это его свойство
сохраняется в секторе комплексного переменного л/6 < arg z < 5я/6. Для
того чтобы получить асимптотическое представление ф2 в этой области, в
(30.4) следует произвести замену (см. § 26)
Это/ означает, что вязкость проявляется в окрестности х3 и в секторе л/6
< arg z < 5л/6. "Вязкий" сектор комплексного переменного z не захватывает
действительной оси, и потому при рассмотрении крупномасштабных решений в
некоторых случаях можно учитывать явление трансформации, обходя точку х3
в комплексной плоскости. Причем правило обхода может быть получено
заменой и на (о + iy, т. е. совпадает с правилом обхода Ландау. С помощью
решений (30.4),
(30.5) представим функцию Грина в виде
Здесь W - функциональные определители, ' Wt = = ЭД^фДяо), ф2(:го),
фз(я<>), ф4(?[>)), последняя величина для уравнения (30.2) не зависит от
координаты.
Рассмотрим сначала малые 'времена. Для того чтобы узнать, как будет
развиваться начальное возмуще-
ф2 "*¦ фз ф4-
(30.6)
Ф1 (х) W (ф2 (.г0), ф3 ((r)0), ф4 ((r)0)) + + Фз (х) W (Фх ((r)"), ф"(яс0),
ф4(*о)) (х > .г0),
(30.7)
4 ф2 (х) W (ф! (х0), фз (х0), Ф4 (х0)) +
Ф4(*) W <ФI (*о). ф2 ((r)о). Фз (*о))
(х < х0).
ние, характеризуемое функцией с(х) ~ 6(5; - х0), следует вычислить
интеграл
-{-оо+гу
(2я)-1 | &оехр(-iat) G(x, х0). (30.8)
•* -co-j-iY
Асимптотика интегралов типа (30.8) определяется особенностями
подынтегрального выражения. Если бы однородное уравнение, соответствующее
(30.1), имело собственные функции, то одно и то же решение удовлетворяло
бы граничным условиям как при х -*¦ - так и при х ->¦ °°. В результате
при собственных значениях частоты функциональный определитель Wk
обращался бы в нуль, а функция Грина имела бы полюс. Но однородное
уравнение, соответствующее (30.1), не имеет собственных функций с Im со ^
0 (теорема Ре-лея). Поскольку, помимо того, полное уравнение четвертого
порядка регулярно и, следовательно, его решения (а не их асимптотические
представления!) также регулярны, функций Грина не должна иметь
особенностей. Отсюда следует, что все возмущения при t °° должны
затухать, т. е. среду следует считать асимптотически устойчивой. Однако
это не означает, что амплитуда начальных возмущений будет монотонно
стремиться к нулю. Как мы увидим в следующем параграфе, начальные
возмущения могут в течение некоторого времени нарастать, и, вообще
говоря, не исключено, что за это время их амплитуда достигнет
значительной величины.
Мы не смогли вычислить интеграл (30.8) в общем виде и получили лишь
приближенные выражения з предельных случаях малых (f < Т) и больших it >
Т) времен. Здесь Т ~ х~1/3(ки<))2/3 - характерное время, после которого
проявляются "вязкие" эффекты, учитываемые в (30.2) слагаемым с четвертой
производной. Его можно определить из следующих качественных соображений
[4].
Под действием вязкости начальное возмущение скорости за время At
расплывается на расстояние Ах ~ ~ (vAt)l,z. Ввиду того, что возмущения,
расположенные-в разных точках, движутся с различной скоростью, их: фазы
сдвигаются относительно друг друга. За время At фазовый сдвиг возмущений,
расположенных на рас-
95.
стояниях Да:, становится равным Д ф = kv0 Ах • At. Подставляя сюда
AxivAt)i/2, находим, что за время Д^(Ь o)~2/3v_1/8 действие вязкости
