Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если ViV2 < 0, то такое решение, вообще говоря, построить можно. Пусть
для определенности Vi > О, г, < 0. Тогда <41} убывает при ж>0, а с[2)-
при х < 0; весь вопрос в том, сможет ли удовлетворить частное решение с
такими асимптотиками условиям сшивки в начале координат. Обратимся к
анализу частных случаев.
Для линейной неоднородности Д(ж) = Д'(0)ж даже при ViV2 < 0 нельзя
построить ограниченное решение, удовлетворяющее также и условиям сшивки в
нуле. Поэтому в безграничной линейно-неоднородной среде (А(х) = А'(0)х)
абсолютная неустойчивость отсутствует и можно наблюдать лишь конечпое
усиление возмущений.
Покажем, что для неоднородности вида А(х) = = А " хг/2(А " = d2A/dx2/x =
0) при ViV2 < 0-может иметь место абсолютная неустойчивость. Пусть
инкремент v0 = V ¦ I с31 достаточно велик, так что членом dA/dx в
уравнении (33.4) можпо пренебречь. В результате вместо (33.4) имеем
d*W/dx* + ([Д"х2/2 + ip ([ уГ1 | + | уГ1 | )]2Л +
+ Vo/| иги21} ? = 0. (33.6)
Выражение в фигурных скобках обращается в нуль в четырех точках
х = ± ((2/А") [- ip [ ^Г11 + I I) ±
± 2tv0 (| v1v21 Г1/2]11/2, (33.7)
имеющих смысл точек поворота.
Будем искать такие собственные значения р, чтобы две точки поворота
лежали близко к началу координат х = 0. Эти собственные значения
определяются из условия
=*2V"(1 - 6)(|l71l7al)1/2/(|l71] + Ы), (33.8)
где б предполагается малой добавкой. Уравнение (33.6) при таком положении
точек поворота можно представить в виде
107
d'W/dx* + (l/ША"x4Z+ tLivottv^])-111] X
X [Д "xV2 - 2iv06( Ii;,i;2l )-i/2J} Y = 0. (33.9)
Вблизи внутренних точек поворота уравнение (33.9) сводится к известному
уравнению гармонического осциллятора. Его решения убывают вне этих точек
как ехр (-Кх2/2), где Л = exp [-i(n/4)(v0A " )I/211-1/4]т а б можно найти
из условия, определяющего положение нижнего уровня в гармоническом
осцилляторе:
б = [exp (- in/4)2_B/s] (Л")1/2 (vo/| v\v, \). (33.10)
Из (33.10) видно, что с ростом v0 величина б уменьшается. Таким образом,
при достаточно больших значениях v0 существует собственная функция,
соответствующая значению р с Re р > 0 (см. (33.8) - (33.10))т а
следовательно, реализуется абсолютная неустойчивость.
§ 34. Задача о прохождении. Конечное усиление возмущений
В предыдущем параграфе было показано, что в линейно-неоднородной среде
абсолютная неустойчивость отсутствует независимо от знаков групповых
скоростей волн возмущения. В данном параграфе мы построим стационарную
картину усиления колебаний в отсутствие абсолютной неустойчивости [11].
В окрестности резонансной точки х = 0, малой по сравнению с масштабом
неоднородности среды, расстройку синхронизма А(х) можно разложить по
степеням х. Ограничимся линейным членом А = А'х (А' = = dA/dx\x=o) и
рассмотрим решение системы (33.1), не зависящее от времени:
dc-i/dx = i (Fca/yj) с* ехр (?А'ж2/2), (34.1)
dc^/dx = - i (Vcg/v2) сг exp (- iA'x2/2). (34.2)
Исключая с2* и переходя к переменной | = х/{\А'\У12, получим следующее
уравнение для ей
d2cjd\2 - i\dcjd\- zc,.= 0,
Yi = iFcg/^, y2 = - iFca/z;2, (34,3)
* = -r.-r*/lA'l = V*|cIlV(i71i71|A'|). •
108
Его общее решение запишем в виде
Cl (c) = a1?(iz+) (1) + ватй') (- I). (34.4)
Здесь Й1 и аг - произвольные постоянные, а функции выражаются через
функции параболического цилиндра DK (к - iz):
(?) = D% exp (± in?/4) exp [=F i (яЯ, - ?2)/4]. (34.5)
Асимптотическое поведение Чг(±)(^) описывается следующими функциями:
Чг<±) ч-|\ I -*¦ ~, (34.6)
?(±) - (-D4 ехр (+Ш + (-1)-4-1 • (+2ni)1/2 X
X ехр [+?(яЯ - ж2)/2]/Г(-к), | - оо. (34.7)
Поскольку z - действительная величина, главными членами в (34.4), (34.6)
при ||| оказываются медленно меняющиеся слагаемые, так что
Ci, 2 ~ const 111±iz. (34.8)
Будем считать, что постоянные, соответствующие падающим волнам, в
выражении (34.8) заданы. Тогда решение позволяет определить амплитуды
уходящих волн. Обозначим в (34.8) константы, отвечающие падающим
волнам, Аг, а уходящим - Bt (i = 1, 2).
Рассмотрим случай, когда ViV2 > 0. Найдем сначала
решение для частного вида граничных условий, когда ла область
взаимодействия падает только волна с2. Лри этом граничные условия имеют
вид А^ = О, А^ = 1. Верхним индексом / здесь и в дальнейшем обозначается
такое частное решение системы (34.1),
(34.2), когда на область взаимодействия падает только волна с частотой
C0j. Решение задачи для общего случая граничных условий определяется в
силу линейности суперпозицией этих частных решений. Далее, определяя
постоянные "1 и аг в (34.4), (34.6), получим
с2*(2) = (- l), с<2) = iYl ехр (i?l2) ¦ WtiU (- I).
(34.9)
Отсюда с помощью (3.7) можно найти константы ухо-
109
дящих волн В^2- Аналогично для решения Ci можно определить В^2.
Полученные результаты можно записать в виде матрицы В^ {v,v2 > 0)
(j ехр (яг) 7! (2яi)1!2 • ехр (яг/2)/Г (1 + ?z) \
\7г(-2я?) ехр (яг/2)/Г (1- iz) ехр (яг)/'
(34.10)
В случае ViVz < 0 (i) /ехр (- яг) Yj (2яг)!''2 ехр (- яг/2)/Г (1 + Щ \
\Тг(-2я?)1'/2ехр(-яг/2)/Г (1-гг) ехр(-яг)/'
