Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Засланский Г.М. -> "Взаимодействие волн в неоднородных средах" -> 28

Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.

Засланский Г.М., Мейтлис В.П., Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах — М.: Мир, 1982. — 177 c.
Скачать (прямая ссылка): vzaimodeystvievolnvneodnorodnih1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 55 >> Следующая

приведет к затуханию элементарных возмущений, так как в одной и той же
точке окажутся возмущения с фазой, отлича-, ющейся более чем на п. Таким
образом, характерное время Т проявления вязких эффектов можно оценить как
Т~(ки'0)-*\-113.
Эту же оценку можно получить и из других соображений. Укороченное,
уравнение (30.1) имеет особенность при со = kv0(x). Поэтому естественно
ожидать, что на интеграл (30.8) определяющее влияние окажет зависимость
решений ф< от величины со - kv0ix). В силу такой зависимости каждому
частотному интервалу бсо может быть поставлен в соответствие
пространственный- 8х ~ бсо (/ci70)-1, и наоборот. Эффекты, обусловленные
вязкостью, становятся существенными на расстояниях 8xs ~ (v/kv0)1/s от
резонансной точки. Этому расстоянию отвечает частотный интервал 6cos ~
1*/3 /7 ^ \2
~v \kv0) ' , с которым по соотношению неопределенности связано
характерное время Т ~ 8(07* ='
= V-"* м-и.
.Приведенные качественные соображения показывают, что при t < Т
окрестность особой точки \x - xs\ ^ ^ 8xs, в которой проявляются "вязкие"
эффекты, не должна оказывать существенного воздействия на эволюцию
возмущений. В области \x - xs\ > 8xs для решений ф; мы можем использовать
приближенные асимптотические выражения (30.4) и (30.5). При lot- х"\ "
> 8xs в функции Грина, составленной из (30.4), (30.5), можно
пренебречь малым слагаемым, пропорциональным ф3(а;) и ф4(а;). Используя
также условия \dny3rJdxn\ > |5"ф! Jdxn\, представим детерминайты, стоящие
при фДж) и (р2(х), в следующем приближенном виде: ф2 (х0) W (фз (х0), ф^
(x0j) и фг (х0) W (фз (х0), ф* (х0)) соответственно. Аналогичным образом
получим W4 ~ W(фД^о), ф2(^о)) • W (фз(х0), ц>\{х0)). В результате этих
преобразований функция Грина представляется так:
G (х, х0) = - /ф1 ^ Щ ^' х > Х°' (30.9)
Я 1ф2 (^) Ф1 (^о), ^ ^о-
¦96
Асимптотика интеграла (30.8) определяется логарифмической особенностью
функции ф2 (см. (30.4)):
Ф (х, x0f t)~t 1 (*! | х - х01)1/2Н1 (2(кг \х - х01)1/2 х
Из (30.10) следует, что начальное возмущение, локализованное в точке х0,
возбуждает два волновых процесса с частотами kv0(x) и kv0(x0)
соответственно, здесь х - точка наблюдения. Волновой процесс первого
типа, являющийся аналогом воли Ван-Кампена - Кейза (см., например, [4,
14]), представляет собой колебания, бегущие с локальной скоростью потока.
Присутствие в асимптотике таких колебаний вполне естественно.
Появление волнового процесса второго типа в определенной степени связано
с использованием метода преобразования Лапласа [7]. Действительно, при
внезапном "включении" возмущений должен возбудиться весь спектр частот
рассматриваемой системы. Однако в точке х возмущения с частотами со Ф
ки0{х) взаимно уничтожают друг друга из-за интерференции.
Рассмотрим теперь большие времена. При t > Т интеграл (30.8) будем
вычислять методом перевала. Положение точки перевала на плоскости
комплексной частоты определяется условием
Отсюда следует, что для достаточно больших времен асимптотика возмущения
будет отлична от пуля, если функция Грина включает в себя составляющую,
характерный частотный масштаб которой стремится к нулю.
Ранее было отмечено, что в пространстве частот в окрестности точек
ки0{х), kv0(x0) масштаб Scos ~ Т~1. Однако он уменьшается с удалением от
точек kv"(x), kv0(xо) (см. (30.5), (30.6)). В результате при t > Т точка
перевала, если она существует, должна находиться на достаточно больших
расстояниях от точек kvaix), kv0Lг0), где для функций ф4 опять
справедливы асимптотические представления (30.5), (30.6).
Выделим ту часть функции Грина, которая может дать точку перевала.
Рассмотрим сначала область
exp (- ikvg (х) t) | exp (- ikvg (s") t)
, h = v0/v0.
(30.10)
t = - id In G/da.
(30.11)
4 Заказ N5 414
97
х > х0. В первом слагаемом явление трансформации решений нужно учитывать
лишь у 'функции ф2(я)- Быстро меняющаяся часть ф4(;Го), добавляемая к
функции Фг(яо) в определителях, очевидным образом выпадает. Асимптотика
первого слагаемого имеет вид
Ф1 (х) Ф2 (хо) W (фз (я0)" 9i (^о))- В ней быстро меняющиеся решения
(р3(х0) и cpj.x0) взаимно погашаются, и поэтому точка перевала может быть
связана только с быстро меняющейся частью срг(х), появляющейся в
результате трансформации.
Во второе слагаемое быстро меняющиеся решения ф3(:г) и ф4(;го) входят с
разными аргументами. Несложные оценки, однако, показывают, что погашение
экспоненты происходит и в этом случае. В результате при интегрировании
второго слагаемого контур интегрирования можно сместить в область как
угодно больших отрицательных значений Imco, где I d In G/dco I.
Аналогичные соображения приводят к выводу о том, что в области х < х0
точка перевала вообще отсутствует. Следовательно, при t > Т сколько-
нибудь значительный уровень возмущений останется лишь в области х > х".
Используя для функции Грина приближенное выражение
где асимптотика фДа;) определяется (30.4), (30.6), получаем
ф (t, х, х0) ~ t iH1 (2 (кг | х - х01 )1/2) х Хехр[-ikv0(x)t - v (kv'0Y
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 55 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed