Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
(34.11)
Таким образом, для у1у2>0 усиление имеет место при z > 0, а для ViV2 <0 -
при г < 0. Диагональные элементы матрицы В&г) представляют собой
коэффициенты усиления падающей волны, а педиагональные определяют
амплитуду возникающей волны с частотой биений.
Если z"l, можно получить наглядное представление о структуре поля в
резонансной области с помощью асимптотических выражений для функций
Рассмотрим амплитуду с(12). При vtv2 > 0" -1 < а < 1, где а - |/2z1/2,
имеем
I ci2) Р = Ti ехР {2z [я - arccosa -f-+ а (1 - а2)1/2]}/2га (1 -
a2)i/2;
при ос - 1
I ci2) |2 = 2'у1г-2''3Ф2 (2z2/3 (1 - а))<ехр (2яг), где Ф - функция
Эйри; при а " 1
I ci2) |2 = "Ti (1 + sin % (at) I а) • exp (2я z)/z (a - I)1/2,
%(a)=4z(a(a2-l)1/2-- In [ (a + (a2 - l)1/2)/(a - (a2 - 1)1/2)]}.
Таким образом, модуль амплитуды экспоненциально возрастает в резонансной
области ||[>2z1/2 с пространственным инкрементом ~z1/2 и достигает
максимального значения, которое в l,9z1/6 раз превышает-стационарный
уровень, а затем осциллирует с уменьшающимися амплитудой и периодом.
110
Эху же задачу можно было решать на основе ква-зиклассического приближения
при условии, что свойства среды изменяются достаточно слабо. Введем
уравнение (33.4) при р = О примет следующий вид:
d2W/dx2 + (А2/4 - idA/dx/2 - vl/v^) W = 0, (34.12)
С квазиклассической точностью вторым слагаемым в круглых скобках можно
пренебречь. Поэтому вместо
(34.12) имеем
Задача о прохождении для такого уравнения подробно рассмотрена в § 11. В
приближении ВКБ коэффициент усиления для квадратов модулей амплитуд равен
Интегрирование проводится в плоскости х между нулями подкоренного
выражения. Если ViV2 > 0, то точки поворота лежат на действительной оси.
Параметрическое усиление соответствует подбарьерному прохождению. Проводя
интегрирование для линейной зависимости А = А'х, получим по-прежнему
усиление в
Аналогичная задача для ViV2< 0 сводится к случаю надбарьерного отражения.
Точки поворота оказываются на мнимой оси. Коэффициент усиления в этом
случае также определяется формулой (34.15), но при vlv2<0 в ней следует
взять модуль произведения групповых скоростей.
§ 35. Генерация второй гармоники и суммарных частот
В данном параграфе мы рассмотрим стационарные решения для процессов
преобразования частоты вверх, простейшим из которых является генерация
второй .
новую функцию
которой
d2W/dx2 + (А2/4 - vI/vm) ? = 0. (34.13)
ехр 2j (vl/v1v1 - А2 (х)/А)1/2 dx . (34.14)
ехр [2зхТ^21 с312/(L?i^21А' I)] = ехр (2nz) раз. (34.15)
111
гармоники. Канонические уравнения, описывающие генерацию второй
гармоники, можно получить по формуле (5.12) варьированием гамильтониана г
36 = (i/2) 2 [vjCjdc*jdx - VjC*dcj/dx] -
1=1
- j* ^i2ci2c2 exp |^i j* A (xx) dx-ij + к. с.
В результате приходим к уравнениям dcjdt + vxdcx!dx= 2iF12c*c2 ехр ^i j*
A (xx)
dcjdt + v2dc2/dx = iF*2c2 exp I - i J A(x1)dx1 }•
dx. (35.1)
(35.2)
Здесь и в дальнейшем будем считать у1>2 и Vl2 постоянными, а V12
действительной величиной. Перейдем в уравнениях (35.2) к новой переменной
о = с2 ехр ^i j* A (xj) (35.3)
С учетом этой замены систему (35.2) в стационарном случае d/dt = 0 можно
записать в виде
dc1ldx=2i(Vl2lv1)c*1W2, (35.4)
д2х?2/дх2 - iA (я) dY2ldx +
+[2Fj2 (I Cj I )2/v1v2 - idA/dx] = 0. (35.5)
Пусть на границе полубесконечной нелинейной среды происходит постоянная
подкачка волны основной частоты, так что
с,(х = 0) = ci0, сг{х = 0) = 0. (35.6)
Тогда в приближении заданной интенсивности волны накачки генерация второй
гармоники описывается линейным уравнением [2, 12]
d2W2ldx2 - iA (х) dW2/dx + (2g* - idA/dx) W2 = 0,
(35.7)
g2 = V12 ( I ClO I )2/yly2 = const
112
с граничными условиями (35.6), которые принимают вид:
¦*F2 (х = 0) = 0, (Г?г!йх\х=0 = iV12c\J v2. (35.8)
Для случая линейно-неоднородной среды (А(х) = = А'х) может быть получено
точное решение уравнения (35.7) [10], которое с учетом граничных условий
приводит к следующему выражению для амплитуды второй гармоники:
с2 (х) = i (V12/v2) c\0F (к, т; - iz2), (35.9)
где F(k, т; -iz2)-вырожденная гипергеометрическая функция с параметрами к
= 1/2 - ig2/2A', т = 3/2, z2 = A'x2/2 [13]. Отсюда находим интенсивность
второй гармоники
h-Vl^c^F^vl, (35.10)
где F!=Fik, m; - iz2) •F(k*, m; iz2).
Рассмотрим случай слабонеоднородных сред (А'х2 <
< 1). Тогда на малых длинах gx<. 1, используя соответствующее
разложение функции F(k, тп; у), для интенсивности гармоники получаем
выражение [13]
12(х) " (V12c\0x2li72)2[1 - 2(gx)2J2, - (Д'.г2)2/45]. (35.11)
Если среда сильно неоднородна, то для получения решения на достаточно
больших расстояниях (А'х2 >
> 1) можно воспользоваться следующей асимптотикой функции F(k, то; у)
[13]:
F(k, тп; у) " (-у)кТ(тп)/Г(тп - к) +
+ ук~т ехр (у) ¦ Г(т)/Г(к), (35.12)
где Г(то) - гамма-функция. Тогда при g2/2A' < 1 находим
12 (х) " (2/А') (V12cjJi72)2 ехр (- ng2/2A'). (35.13)
Полученные выше на малых (Д'.г2<1) и на больших (Д';г2>1) длинах
выражения для интенсивности второй гармоники демонстрируют, каким образом
