Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
волн в нелинейной среде возможно образование целого спектра колебаний с
различными частотами [5].
В большинстве ранних работ, посвященных резонансным нелинейным
взаимодействиям волн, среда считалась безграничной и однородной.
Серьезное внимание к распадным процессам в неоднородных средах было
привлечено в связи с проблемой преобразования энергии мощного лазерного
излучения в плазменные колебания. Уже из*первых работ, посвященных
резонансным волновым взаимодействиям в неоднородных средах, следовало,
что неоднородность существенно изменяет характер этих процессов [6-8].
Так, в работе [6] обнаружено, что запрещенная условиями фазового
синхронизма генерация второй гармоники в плазме без магнитного поля
возможна в неоднородной плазме в области, где становится близкой к нулю
диэлектрическая проницаемость волны на основной частоте.
Розенблютом [7] было показано, что распадная неустойчивость в
неоднородных средах, вообще говоря, посит сносовый характер.
Экспоненциальное нарастание амплитуд возмущений со временем (абсолютная
неустойчивость) возможно лишь для некоторых частных случаев
неоднородностей и соотношения знаков групповых скоростей волн. В
противном случае наблюдается лишь конечное усиление возмущений с
последующим выносом их из области фазового синхронизма [7, '8]. Интересно
отметить, что задача об абсолютной неустойчивости волны конечной
амплитуды тесно связана с задачей о собственных значениях уравнения
Шредингера с комплексным потенциалом. Конечное усиление волновых
возмущений в отсутствие абсолютной неустойчивости при vtv2 > 0
соответствует под-барьерному прохождению возмущений.
Ниже мы рассмотрим не только распадную неустойчивость, но и процессы
смещения частот. При этом в
104
дальнейшем всюду будем считать, что область эффективного взаимодействия
волн достаточно удалена от точек нарушения квазиклассического описания
волновых полей, так что влияние последних на рассматриваемые процессы
можно считать малым. Частичный анализ такого рода влияния для
линеаризованных задач можно найти в [9, 10].
3
§ 33. Абсолютная неустойчивость
Пусть в нелинейной среде распространяется волна с частотой со3. Исследуем
эволюцию возмущений с частотами о"! и со2 такими, что Дю = ю3 - - ю2
=
= const, ДЫ = к3 - ki - к2. Полагая амплитуду с, волны с частотой ю3
заданной, из (1.7), (5.10) получаем линейную систему для амплитуд малых
возмущений Ci(x, t) и сг(х, t)
dc,/dt -j- v^c^dx = iVc3c* exp j" Д (x,) dx, - iAat j,
(33.1)
dc2/dt -f v2dc% dx = iVc^c, exp ^- i j Д (x,) dx, - iAat'j.
Здесь и далее для простоты считаем коэффициент нелинейного взаимодействия
V действительным.
Нетрудно убедиться, что в безграничной однородной среде при Д = 0 малые
возмущения экспоненциально нарастают со временем cii2 ~ ехр (vt) с
инкрементом
v = [V2!c312-(Д(r))2/4]1/2. (33.2)
Расстройка фазового синхронизма по частоте Дсо приводит к тому, что
распадная неустойчивость имеет место только для волн с достаточно большой
амплитудой IСз 1 > \A(o/2V\.
Ситуация существенно усложняется при наличии расстроек фазового
синхронизма Д(ж), вызванных неоднородностью среды. Проанализируем, следуя
Розенблю-ту [7], в каких случаях в неоднородной среде может
осуществляться экспоненциальное нарастание возмущений со временем, т. о.
абсолютная неустойчивость.
105
Полагая Асо = 0, проведем в уравнениях (33.1) преобразование Лапласа по
времени. Исключив с2, перейдем к новой переменной Т:
X
? = с* ехр - i f dx1А (х^/2 + р* (v^1 + у^1) ж/2
О
(33.3)
Тогда, пренебрегая начальными условиями, получим уравнение
d2W/dx2 + ([А + ip (уГ1 - fi-1)]2/4 - idk/dx/2 -
-F2|c3|2/y1y2)? = 0. (33.4)
При выводе уравнения (33.4) мы считали Vix) и vt(x) достаточно медленно
изменяющимися функциями, чтобы можно было пренебречь производными от этих
величин. Учет пространственной зависимости V{x) и vt(x) становится
важным, например, в областях, где эти величины проходят через нуль. В
дальнейшем такие случаи рассматривать не будем, считая для простоты .эти
величины постоянными.
Попытаемся найти решение уравнения (33.4), локализованное в безграничной
среде (т. е. убывающее на бесконечности). Если такое решение существует
при Re ро > 0, то ро соответствует собственному значению нормальной моды,
растущей со временем. Если таких решений нет, то может иметь место только
конечное усиление начальных возмущений.
Будем считать, что А(.х)-растущая функция пространственной координаты.
Тогда из (33.3), (33.4) нетрудно получить асимптотику частных решений при
больших значениях \х\:
<4Х) = ехр(- р*х/иг),
с{2) = ехр
' г \ (33.5)
i \ A (x-i) dxx -- p*x/v2 I.
ч о J
Если Re р > 0, то при ViV2 > 0 независимо от направлений групповых
скоростей ни одно из частных решений и никакая их комбинация не могут
одновременно убывать при стремлении аргумента как к +°°, так и к
106
-Следовательно, при ViV2>0 в безграничной среде мы не можем построить
локализованных решений, экспоненциально нарастающих со временем.
